Để giải hàm số \( y = \frac{x^2 + 4}{2x} \), ta thực hiện các bước sau:

### 1. **Rút gọn hàm số:**

Biểu thức \( y = \frac{x^2 + 4}{2x} \) có thể được rút gọn:

\[
y = \frac{x^2 + 4}{2x}
\]

Chia từng hạng tử trong tử số cho mẫu số \( 2x \):

\[
y = \frac{x^2}{2x} + \frac{4}{2x}
\]

\[
y = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}
\]

### 2. **Tìm miền xác định:**

Miền xác định của hàm số là tập hợp các giá trị của \( x \) mà tại đó hàm số có nghĩa. Do mẫu số không được bằng 0:

\[
2x \neq 0 \implies x \neq 0
\]

Vậy, miền xác định là \( x \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \).

### 3. **Xét tính chất của hàm số:**

#### a. **Tính đạo hàm:**

Để tìm cực trị và nghiên cứu sự thay đổi của hàm số, ta tính đạo hàm:

\[
y = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}
\]

Áp dụng quy tắc đạo hàm:

\[
\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{2}
\]
\[
\frac{d}{dx}\left(\frac{2}{x}\right) = -\frac{2}{x^2}
\]

Do đó:

\[
y' = \frac{1}{2} - \frac{2}{x^2}
\]

#### b. **Tìm điểm cực trị:**

Để tìm điểm cực trị, giải phương trình đạo hàm bằng 0:

\[
\frac{1}{2} - \frac{2}{x^2} = 0
\]

\[
\frac{1}{2} = \frac{2}{x^2}
\]

\[
x^2 = 4
\]

\[
x = \pm 2
\]

#### c. **Tính giá trị hàm số tại các điểm cực trị:**

- Với \( x = 2 \):

\[
y = \frac{2}{2} + \frac{2}{2} = 1 + 1 = 2
\]

- Với \( x = -2 \):

\[
y = \frac{-2}{2} + \frac{2}{-2} = -1 - 1 = -2
\]

#### d. **Tìm tiệm cận:**

- **Tiệm cận ngang:**

Khi \( x \to \infty \) hoặc \( x \to -\infty \):

\[
y = \frac{x}{2} + \frac{2}{x} \to \frac{x}{2} \to \infty
\]

Vì vậy, không có tiệm cận ngang.

- **Tiệm cận đứng:**

Có tiệm cận đứng tại \( x = 0 \), nơi hàm số không xác định.

### **Tóm tắt:**

- **Miền xác định**: \( x \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \)
- **Cực trị**:
- Cực đại tại \( x = 2 \), \( y = 2 \)
- Cực tiểu tại \( x = -2 \), \( y = -2 \)
- **Tiệm cận đứng**: tại \( x = 0 \)

Để giải hàm số \( y = x^2 + \frac{4}{2x} \), trước tiên, chúng ta có thể đơn giản hóa biểu thức này.

Biểu thức \( \frac{4}{2x} \) có thể được viết lại:

\[
\frac{4}{2x} = \frac{4}{2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x}
\]

Vậy nên, hàm số trở thành:

\[
y = x^2 + \frac{2}{x}
\]

### Bước 1: Tìm miền xác định
Hàm số này có thể không xác định tại \( x = 0 \) (vì làm cho mẫu của phân số không xác định). Vì vậy, miền xác định của hàm số là \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \) (tức là tất cả các số thực trừ 0).

### Bước 2: Tính đạo hàm
Để tìm các điểm cực trị, ta cần tính đạo hàm của hàm số:

\[
\frac{dy}{dx} = 2x - \frac{2}{x^2}
\]

Để tìm các điểm cực trị, ta đặt đạo hàm bằng 0:

\[
2x - \frac{2}{x^2} = 0
\]

Giải phương trình này:

\[
2x = \frac{2}{x^2} \implies 2x^3 = 2 \implies x^3 = 1 \implies x = 1
\]

### Bước 3: Xác định các điểm cực trị
Ta có điểm \( x = 1 \). Để xác định tính chất của điểm này (cực đại hay cực tiểu), ta có thể tính đạo hàm bậc hai:

\[
\frac{d^2y}{dx^2} = 2 + \frac{4}{x^3}
\]

Với \( x = 1 \):

\[
\frac{d^2y}{dx^2} \bigg|_{x=1} = 2 + \frac{4}{1^3} = 2 + 4 = 6 > 0
\]

Vì vậy, tại \( x = 1 \), hàm số có một điểm cực tiểu.

### Bước 4: Tính giá trị tại điểm cực tiểu
Tính giá trị của \( y \) tại \( x = 1 \):

\[
y(1) = 1^2 + \frac{2}{1} = 1 + 2 = 3
\]

### Kết luận
Hàm số \( y = x^2 + \frac{2}{x} \) có:

- Miền xác định: \( \mathbb{R} \setminus \{0\} \)
- Tại \( x = 1 \), hàm số có một điểm cực tiểu với giá trị là \( y = 3 \).