Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của các đa thức \(A\), \(B\), và \(C\), ta cần sử dụng các phương pháp phân tích và đạo hàm nếu cần. Dưới đây là cách giải cho từng đa thức:

### 1. Tìm GTNN của \(A = x^2 - 12x + 35\)

Đa thức \(A\) là một hàm bậc hai có dạng chuẩn:

\[
A = x^2 - 12x + 35
\]

Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta sẽ viết lại đa thức dưới dạng bình phương hoàn chỉnh:

\[
A = x^2 - 12x + 35
\]

Thực hiện hoàn thành bình phương:

\[
A = (x - 6)^2 - 36 + 35
\]
\[
A = (x - 6)^2 - 1
\]

Như vậy, hàm số \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \((x - 6)^2 = 0\), tức là \(x = 6\).

**Giá trị nhỏ nhất của \(A\) là:**

\[
A_{\text{min}} = -1
\]

### 2. Tìm GTNN của \(B = 9x^2 - 6x + 7\)

Đa thức \(B\) cũng là một hàm bậc hai:

\[
B = 9x^2 - 6x + 7
\]

Viết lại dưới dạng bình phương hoàn chỉnh:

\[
B = 9 \left(x^2 - \frac{2}{3}x \right) + 7
\]

Hoàn thành bình phương trong ngoặc:

\[
x^2 - \frac{2}{3}x = \left(x - \frac{1}{3} \right)^2 - \left(\frac{1}{3}\right)^2
\]
\[
B = 9 \left[\left(x - \frac{1}{3} \right)^2 - \frac{1}{9} \right] + 7
\]
\[
B = 9 \left(x - \frac{1}{3} \right)^2 - 1 + 7
\]
\[
B = 9 \left(x - \frac{1}{3} \right)^2 + 6
\]

**Giá trị nhỏ nhất của \(B\) là:**

\[
B_{\text{min}} = 6
\]

### 3. Tìm GTNN của \(C = 2x^2 - 5x + 4\)

Đa thức \(C\) có dạng chuẩn:

\[
C = 2x^2 - 5x + 4
\]

Viết lại dưới dạng bình phương hoàn chỉnh:

\[
C = 2 \left(x^2 - \frac{5}{2}x \right) + 4
\]

Hoàn thành bình phương trong ngoặc:

\[
x^2 - \frac{5}{2}x = \left(x - \frac{5}{4} \right)^2 - \left(\frac{5}{4}\right)^2
\]
\[
C = 2 \left[\left(x - \frac{5}{4} \right)^2 - \left(\frac{5}{4}\right)^2 \right] + 4
\]
\[
C = 2 \left(x - \frac{5}{4} \right)^2 - \frac{25}{8} + 4
\]
\[
C = 2 \left(x - \frac{5}{4} \right)^2 - \frac{25}{8} + \frac{32}{8}
\]
\[
C = 2 \left(x - \frac{5}{4} \right)^2 + \frac{7}{8}
\]

**Giá trị nhỏ nhất của \(C\) là:**

\[
C_{\text{min}} = \frac{7}{8}
\]

### Tổng kết

- Giá trị nhỏ nhất của \(A\) là \(-1\).
- Giá trị nhỏ nhất của \(B\) là \(6\).
- Giá trị nhỏ nhất của \(C\) là \(\frac{7}{8}\).

### Bài 1: Tìm GTNN (Giá Trị Nhỏ Nhất)

1. **Biểu thức A: \( A = x^2 - 12x + 35 \)**

Chúng ta sẽ hoàn thành bình phương:

\[
A = (x^2 - 12x + 36) - 1 = (x - 6)^2 - 1
\]

Giá trị nhỏ nhất của \( (x - 6)^2 \) là 0 (khi \( x = 6 \)), do đó giá trị nhỏ nhất của \( A \) là:

\[
A_{\text{min}} = 0 - 1 = -1
\]

2. **Biểu thức B: \( B = 9x^2 - 6x + 7 \)**

Hoàn thành bình phương:

\[
B = 9(x^2 - \frac{2}{3}x) + 7
\]
\[
= 9\left(x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}\right) - 1 + 7 = 9\left(x - \frac{1}{3}\right)^2 + 6
\]

Giá trị nhỏ nhất của \( (x - \frac{1}{3})^2 \) là 0 (khi \( x = \frac{1}{3} \)), do đó giá trị nhỏ nhất của \( B \) là:

\[
B_{\text{min}} = 0 + 6 = 6
\]

3. **Biểu thức C: \( C = 2x^2 - 5x + 4 \)**

Hoàn thành bình phương:

\[
C = 2\left(x^2 - \frac{5}{2}x\right) + 4
\]
\[
= 2\left(x^2 - \frac{5}{2}x + \frac{25}{16}\right) - \frac{25}{8} + 4 = 2\left(x - \frac{5}{4}\right)^2 - \frac{9}{8}
\]

Giá trị nhỏ nhất của \( \left(x - \frac{5}{4}\right)^2 \) là 0 (khi \( x = \frac{5}{4} \)), do đó giá trị nhỏ nhất của \( C \) là:

\[
C_{\text{min}} = 0 - \frac{9}{8} = -\frac{9}{8}
\]

4. **Biểu thức D: \( D = x^2 + y^2 - x + 6y + 11 \)**

Hoàn thành bình phương đối với \( x \) và \( y \):

\[
D = (x^2 - x) + (y^2 + 6y) + 11
\]
\[
= \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} + \left(y + 3\right)^2 - 9 + 11
\]
\[
= \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(y + 3\right)^2 + \frac{3}{4}
\]

Giá trị nhỏ nhất của \( \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 \) và \( \left(y + 3\right)^2 \) đều bằng 0 (khi \( x = \frac{1}{2} \) và \( y = -3 \)), do đó giá trị nhỏ nhất của \( D \) là:

\[
D_{\text{min}} = 0 + 0 + \frac{3}{4} = \frac{3}{4}
\]

### Kết luận bài 1:

- \( A_{\text{min}} = -1 \)
- \( B_{\text{min}} = 6 \)
- \( C_{\text{min}} = -\frac{9}{8} \)
- \( D_{\text{min}} = \frac{3}{4} \)

### Bài 2: Tìm GTLN (Giá Trị Lớn Nhất)

1. **Biểu thức A: \( A = -x^2 + 6x + 9 \)**

Hoàn thành bình phương:

\[
A = -\left(x^2 - 6x\right) + 9
\]
\[
= -\left((x - 3)^2 - 9\right) + 9 = -\left(x - 3\right)^2 + 18
\]

Giá trị lớn nhất là 18 (khi \( x = 3 \)).

2. **Biểu thức B: \( B = 5 - 16x^2 - 8x \)**

Hoàn thành bình phương:

\[
B = 5 - 16\left(x^2 + \frac{1}{2}x\right) = 5 - 16\left(x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{16}\right) + 1 = 6 - 16\left(x + \frac{1}{4}\right)^2
\]

Giá trị lớn nhất là 6 (khi \( x = -\frac{1}{4} \)).

3. **Biểu thức C: \( C = x - x^2 \)**

Đạo hàm để tìm cực trị:

\[
C' = 1 - 2x
\]
Đặt \( C' = 0 \):

\[
1 - 2x = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}
\]

Tính giá trị:

\[
C\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}
\]

### Kết luận bài 2:

- \( A_{\text{max}} = 18 \)
- \( B_{\text{max}} = 6 \)
- \( C_{\text{max}} = \frac{1}{4} \)