Để tìm đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \( y = -x^3 + 3x^2 + 9x + 1 \) và tính \( a + 2b \) khi đường thẳng có dạng \( Ax + By + 4 = 0 \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Tìm các điểm cực trị:**

Để tìm điểm cực trị, ta tính đạo hàm cấp một của hàm số và đặt nó bằng 0:
\[
\frac{dy}{dx} = -3x^2 + 6x + 9
\]
Đặt \(\frac{dy}{dx} = 0\):
\[
-3x^2 + 6x + 9 = 0
\]
Chia cả hai vế cho -3:
\[
x^2 - 2x - 3 = 0
\]
Giải phương trình bậc hai:
\[
x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) = 0
\]
Ta có các nghiệm:
\[
x = 3 \quad \text{và} \quad x = -1
\]

Tính giá trị hàm số tại các điểm cực trị:
\[
y(3) = -3^3 + 3 \cdot 3^2 + 9 \cdot 3 + 1 = -27 + 27 + 27 + 1 = 28
\]
\[
y(-1) = -(-1)^3 + 3 \cdot (-1)^2 + 9 \cdot (-1) + 1 = 1 + 3 - 9 + 1 = -4
\]

Vậy hai điểm cực trị là \( (3, 28) \) và \( (-1, -4) \).

2. **Tìm phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \( (3, 28) \) và \( (-1, -4) \):**

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \((x_1, y_1)\) và \((x_2, y_2)\) có dạng:
\[
\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}
\]

Thay các giá trị vào:
\[
\frac{y - 28}{-4 - 28} = \frac{x - 3}{-1 - 3}
\]
\[
\frac{y - 28}{-32} = \frac{x - 3}{-4}
\]
\[
\frac{y - 28}{32} = \frac{x - 3}{4}
\]
Nhân chéo:
\[
4(y - 28) = 32(x - 3)
\]
\[
4y - 112 = 32x - 96
\]
\[
4y - 32x = 16
\]
\[
y - 8x = 4
\]
Đưa về dạng \( Ax + By + C = 0 \):
\[
8x - y + 4 = 0
\]

Vậy \( A = 8 \), \( B = -1 \), và \( C = 4 \).

3. **Tính giá trị \( a + 2b \):**

\[
a = 8
\]
\[
b = -1
\]
\[
a + 2b = 8 + 2(-1) = 8 - 2 = 6
\]

Vậy \( a + 2b = 6 \).

Để tìm đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \( y = -x^3 + 3x^2 + 9x + 1 \), đầu tiên, chúng ta cần xác định các điểm cực trị.

### Bước 1: Tính đạo hàm

Tính đạo hàm của hàm số:

\[
y' = \frac{d}{dx}(-x^3 + 3x^2 + 9x + 1) = -3x^2 + 6x + 9
\]

### Bước 2: Tìm điểm cực trị

Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình \( y' = 0 \):

\[
-3x^2 + 6x + 9 = 0
\]

Chia cả phương trình cho -3:

\[
x^2 - 2x - 3 = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}
\]

Từ đó, ta có các nghiệm:

\[
x_1 = \frac{6}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{-2}{2} = -1
\]

### Bước 3: Tính toạ độ các điểm cực trị

Tính \( y \) tại các giá trị \( x_1 \) và \( x_2 \):

1. **Khi \( x = 3 \)**:

\[
y(3) -3^3 + 33^2) + 9(3) + 1 -27 + 27 + 27 + 1 = 28
\]

Vậy điểm cực trị thứ nhất là \( (3, 28