a. Phân tích A thành nhân tử

Cho biểu thức:
\[ A = (x - 3)(x^2 + 4x) - 4(3 - x) \]

Trước tiên, hãy khai triển biểu thức:

1. Khai triển \((x - 3)(x^2 + 4x)\):
\[ (x - 3)(x^2 + 4x) = x(x^2 + 4x) - 3(x^2 + 4x) \]
\[ = x^3 + 4x^2 - 3x^2 - 12x \]
\[ = x^3 + x^2 - 12x \]

2. Khai triển \(-4(3 - x)\):
\[ -4(3 - x) = -12 + 4x \]

Kết hợp các phần lại với nhau:
\[ A = x^3 + x^2 - 12x - 12 + 4x \]
\[ A = x^3 + x^2 - 8x - 12 \]

Bây giờ, ta sẽ phân tích \(A\) thành nhân tử:

\[ A = (x + 3)(x^2 - 2x - 4) \]

b. Tìm \(x\) để \(A = 0\)

Để tìm giá trị \(x\) sao cho \(A = 0\), ta giải phương trình:

\[ (x + 3)(x^2 - 2x - 4) = 0 \]

Điều này cho ta hai phương trình:
1. \(x + 3 = 0\)
2. \(x^2 - 2x - 4 = 0\)

Giải phương trình đầu tiên:
\[ x = -3 \]

Giải phương trình thứ hai, ta sử dụng công thức nghiệm:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Với \( a = 1 \), \( b = -2 \), và \( c = -4 \):

\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-4)}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{5}}{2} \]
\[ x = 1 \pm \sqrt{5} \]

Vậy các nghiệm là:
\[ x = 1 + \sqrt{5}, \quad x = 1 - \sqrt{5}, \quad \text{và} \quad x = -3 \]

c. Với điều kiện nào của \(x\) thì \(A > 0\)

Để xác định khoảng nào thì \( A > 0 \), ta phân tích dấu của tích các nhân tử:

1. Nhân tử \( x + 3 \): Dương khi \( x > -3 \)
2. Nhân tử \( x^2 - 2x - 4 \): Dấu thay đổi tại các nghiệm \( x = 1 \pm \sqrt{5} \).

Các nghiệm chia trục số thực thành các khoảng:
1. \( (-\infty, -3) \)
2. \( (-3, 1 - \sqrt{5}) \)
3. \( (1 - \sqrt{5}, 1 + \sqrt{5}) \)
4. \( (1 + \sqrt{5}, \infty) \)

Ta có thể kiểm tra từng khoảng bằng cách chọn các điểm kiểm tra và thay vào dạng nhân tử của \(A\) để xác định \(A > 0\) hay \(A < 0\). Tuy nhiên, ta biết rằng dấu sẽ thay đổi tại mỗi nghiệm. Do đó, các khoảng mà \(A > 0\) sẽ là các khoảng mà dấu từ âm sang dương:

Các khoảng dương:
- \(x \in (-3, 1 - \sqrt{5})\)
- \(x \in (1 + \sqrt{5}, \infty)\)

Vậy:
- \(x \in (-3, 1 - \sqrt{5}) \cup (1 + \sqrt{5}, \infty)\)

Đây là toàn bộ giải pháp cho bài toán đã cho.