Quảng cáo
2 câu trả lời 54
Để hiểu tại sao \( 2\sin x \cos x = \sin 2x \), chúng ta có thể xem xét các công thức lượng giác liên quan. Đây là một trong các công thức nhân đôi của hàm số lượng giác.
Công thức nhân đôi của sin là:
\[
\sin 2x = 2 \sin x \cos x
\]
Công thức này xuất phát từ các định lý và tính chất của các hàm lượng giác trong tam giác vuông và tam giác đều. Hãy cùng chứng minh công thức này từ các định lý cơ bản của lượng giác.
**Chứng minh công thức \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \):**
1. Sử dụng công thức cộng góc của hàm sin:
\[
\sin (a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b
\]
2. Đặt \( a = b = x \), chúng ta có:
\[
\sin (x + x) = \sin x \cos x + \cos x \sin x
\]
3. Ta thấy \( \sin (x + x) = \sin 2x \) và \( \sin x \cos x + \cos x \sin x = 2 \sin x \cos x \):
\[
\sin 2x = 2 \sin x \cos x
\]
Vì vậy, \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \) là đúng theo định lý của lượng giác.
**Quay lại với bài toán đạo hàm:**
Bạn đã tính đạo hàm của \( y = \sin^2 x \) như sau:
1. Viết lại \( y \) theo một hàm hợp: \( y = (\sin x)^2 \).
2. Áp dụng quy tắc chuỗi:
\[
\frac{dy}{dx} = 2 \sin x \cdot \frac{d}{dx}(\sin x) = 2 \sin x \cdot \cos x
\]
3. Nhớ lại công thức lượng giác \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \):
\[
\frac{dy}{dx} = \sin 2x
\]
Do đó, chúng ta có:
\[
\frac{dy}{dx} = \sin 2x
\]
Hy vọng giải thích trên giúp bạn hiểu rõ tại sao \( 2 \sin x \cos x = \sin 2x \) và cách áp dụng công thức này trong việc tính đạo hàm.
Để tính đạo hàm của \( y = \sin^2{x} \), ta sử dụng công thức đạo hàm của hàm hợp: \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \).
Ở đây, \( f(x) = x^2 \) và \( g(x) = \sin{x} \).
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp, ta có:
\[,\begin{aligned},y' & = ( \sin^2{x} )' \\,& = 2\sin{x} \cdot (\sin{x})' \\,& = 2\sin{x} \cdot \cos{x} \\,\end{aligned},\]
Để giải thích tại sao \( 2\sin{x} \cdot \cos{x} = \sin{2x} \), chúng ta sẽ sử dụng công thức đổi hệ góc: \( \sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x} \).
Do đó, từ công thức đổi hệ góc, ta có thể kết luận rằng \( 2\sin{x} \cdot \cos{x} = \sin{2x} \).
Vậy nên, \( y' = 2\sin{x} \cdot \cos{x} = \sin{2x} \) là kết quả đúng trong trường hợp này.
Quảng cáo