Để tìm số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \( y = \frac{x+1}{\sqrt{1-x^2}} \), ta cần xác định các điều kiện để hàm số có các tiệm cận này.

**1. Tiệm cận đứng:**

Tiệm cận đứng xảy ra tại các điểm mà hàm số không xác định (phân số có mẫu số bằng 0).

Đặt mẫu số của hàm số bằng 0:
\[ \sqrt{1-x^2} = 0 \]

Điều này xảy ra khi:
\[ 1 - x^2 = 0 \]
\[ x^2 = 1 \]
\[ x = \pm 1 \]

Vậy tiệm cận đứng của đồ thị xảy ra tại \( x = -1 \) và \( x = 1 \).

**2. Tiệm cận ngang:**

Tiệm cận ngang xảy ra khi \( \lim_{x \to \pm \infty} y = \text{hằng số} \).

Để tìm giới hạn này, ta cần xét hàm số khi \( x \to \pm \infty \):

\[ y = \frac{x + 1}{\sqrt{1 - x^2}} \]

Khi \( x \to \pm \infty \), phân số \( \frac{x + 1}{\sqrt{1 - x^2}} \) tiến đến 0 vì mẫu số dạng căn sắp tới xấp xỉ căn bậc hai của \( x^2 \), trong khi tử số chỉ là \( x + 1 \).

Vậy, không có tiệm cận ngang vì hàm số không có giới hạn hằng số khi \( x \to \pm \infty \).

**Tổng kết:**

- Số đường tiệm cận đứng của đồ thị \( y = \frac{x+1}{\sqrt{1-x^2}} \) là **2**, tại \( x = -1 \) và \( x = 1 \).
- Không có tiệm cận ngang của đồ thị này.