Để giải quyết bài toán, ta cần tìm ra các giá trị của \(u_n\) theo cấp số nhân đã cho.

Trước hết, ta xét cấp số nhân \(u_n\) với công bội là \(q\). Giả sử \(u_1 = a\). Khi đó ta có các công thức:
\[ u_2 = aq \]
\[ u_3 = aq^2 \]
\[ u_4 = aq^3 \]
\[ u_5 = aq^4 \]

Dựa vào các điều kiện cho trong đề bài:
\[ u_4 - u_2 = 54 \]
\[ aq^3 - aq = 54 \]
\[ a(q^3 - q) = 54 \]
(1)

\[ u_5 - u_3 = 108 \]
\[ aq^4 - aq^2 = 108 \]
\[ a(q^4 - q^2) = 108 \]
(2)

Chia phương trình (2) cho phương trình (1):
\[ \frac{a(q^4 - q^2)}{a(q^3 - q)} = \frac{108}{54} \]
\[ \frac{q^4 - q^2}{q^3 - q} = 2 \]
\[ \frac{q^2(q^2 - 1)}{q(q^2 - 1)} = 2 \]
\[ q = 2 \]

Thay giá trị \( q = 2 \) vào phương trình (1):
\[ a(2^3 - 2) = 54 \]
\[ a(8 - 2) = 54 \]
\[ a \cdot 6 = 54 \]
\[ a = 9 \]

Vậy ta có:
\[ u_n = 9 \cdot 2^{n-1} \]

Bây giờ, ta cần tính tổng \(U = u_2 + u_4 + u_6 + ... + u_{52} + u_{54}\).

Tổng này là một cấp số nhân với số hạng đầu \( u_2 = 18 \) và công bội \( r = 4 \):
\[ u_2 = 18 \]
\[ u_4 = 18 \cdot 4 = 72 \]
\[ u_6 = 18 \cdot 4^2 = 288 \]
\[ \vdots \]
\[ u_{54} = 18 \cdot 4^{26} \]

Để tính tổng của một cấp số nhân, ta dùng công thức tổng của cấp số nhân:
\[ S_n = u_1 \frac{r^n - 1}{r - 1} \]

Ở đây, ta có \(u_2\) là số hạng đầu, công bội \(r = 4\), và số hạng cuối là \(u_{54}\):
\[ S = 18 \frac{4^{27} - 1}{4 - 1} \]
\[ S = 18 \frac{4^{27} - 1}{3} \]

Chúng ta biết:
\[ 4^{27} = (2^2)^{27} = 2^{54} \]

Do đó:
\[ S = 18 \frac{2^{54} - 1}{3} \]
\[ S = 6 (2^{54} - 1) \]

Vậy tổng của dãy là:
\[ U = 6 (2^{54} - 1) \]

Đề bài yêu cầu tính tổng \( U = u_2 + u_4 + u_6 + \ldots + u_{54} \) của dãy số \( \{u_n\} \) là một cấp số nhân, biết rằng:
\[ u_4 - u_2 = 54 \]
\[ u_5 - u_3 = 108 \]

Để giải bài toán này, ta sử dụng thông tin về cấp số nhân và các phương trình đã cho.

### Bước 1: Xây dựng phương trình cho dãy số \( \{u_n\} \)

Vì \( \{u_n\} \) là cấp số nhân, ta có công thức tổng quát cho \( u_n \):
\[ u_n = u_1 \cdot r^{n-1} \]

Trong đó:
- \( u_1 \) là số hạng đầu tiên của dãy số,
- \( r \) là công bội (tỉ số giữa các số hạng liên tiếp).

### Bước 2: Sử dụng điều kiện cho \( u_4 \) và \( u_2 \)

Từ \( u_4 - u_2 = 54 \), ta có:
\[ u_1 \cdot r^3 - u_1 \cdot r = 54 \]
\[ u_1 \cdot r (r^2 - 1) = 54 \]

Từ đây ta có:
\[ u_1 \cdot r^2 (r - 1) = 54 \ \ \ \ (1) \]

### Bước 3: Sử dụng điều kiện cho \( u_5 \) và \( u_3 \)

Từ \( u_5 - u_3 = 108 \), ta có:
\[ u_1 \cdot r^4 - u_1 \cdot r^2 = 108 \]
\[ u_1 \cdot r^2 (r^2 - 1) = 108 \ \ \ \ (2) \]

### Bước 4: Giải hệ phương trình (1) và (2)

Để giải hệ phương trình này, chúng ta cần tìm \( u_1 \) và \( r \).

Từ (1):
\[ u_1 \cdot r^2 (r - 1) = 54 \]

Từ (2):
\[ u_1 \cdot r^2 (r + 1) = 108 \]

Chia (2) cho (1):
\[ \frac{u_1 \cdot r^2 (r + 1)}{u_1 \cdot r^2 (r - 1)} = \frac{108}{54} \]
\[ \frac{r + 1}{r - 1} = 2 \]

Giải phương trình này ta được:
\[ r + 1 = 2(r - 1) \]
\[ r + 1 = 2r - 2 \]
\[ 3 = r \]

Vậy \( r = 3 \).

### Bước 5: Tìm \( u_1 \)

Sử dụng \( r = 3 \) vào (1):
\[ u_1 \cdot 3^2 (3 - 1) = 54 \]
\[ u_1 \cdot 9 \cdot 2 = 54 \]
\[ u_1 \cdot 18 = 54 \]
\[ u_1 = \frac{54}{18} = 3 \]

### Bước 6: Tính tổng \( U \)

Bây giờ ta tính tổng \( U \):
\[ U = u_2 + u_4 + u_6 + \ldots + u_{54} \]

\( u_{2n} = u_1 \cdot r^{2n-1} \):
\[ U = u_1 \cdot (r + r^3 + r^5 + \ldots + r^{53}) \]

Đây là một cấp số nhân với tổng là:
\[ U = u_1 \cdot \frac{r^{54} - r^2}{r - 1} \]

Thay vào giá trị đã tính được:
\[ U = 3 \cdot \frac{3^{54} - 3^2}{3 - 1} \]
\[ U = 3 \cdot \frac{3^{54} - 9}{2} \]

Tính \( 3^{54} \) có thể xấp xỉ:
\[ 3^{54} = (3^3)^{18} = 27^{18} \]

Vậy \( U \) là:
\[ U = 3 \cdot \frac{27^{18} - 9}{2} \]

Đây là giá trị cuối cùng của \( U \).

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm theo từng bước:

Tìm công bội (q) và số hạng đầu tiên (u_{1}):

Gọi (u_{1}) là số hạng đầu tiên của cấp số nhân. Ta có:

[ u_{4} - u_{2} = 54 \quad \text{(1)} ] [ u_{5} - u_{3} = 108 \quad \text{(2)} ]

Từ (1), ta có: [ u_{4} = u_{2} + 54 ]

Từ (2), ta có: [ u_{5} = u_{3} + 108 ]

Kết hợp hai phương trình trên, ta có: [ u_{5} = u_{2} + 162 ]

Do đó: [ 162 = 54 + 108 ] [ u_{2} = 54 ]

Giờ ta tính công bội: [ q = \frac{u_{3}}{u_{2}} = \frac{u_{5} - 108}{u_{2}} = \frac{u_{2} + 162 - 108}{u_{2}} = \frac{108}{54} = 2 ]

Vậy (q = 2) và (u_{1} = 54).
Tính số hạng tổng quát (u_{n}):

Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân là: [ u_{n} = u_{1} \cdot q^{n-1} ]

Áp dụng vào bài toán: [ u_{n} = 54 \cdot 2^{n-1} ]
Tính tổng U:

Ta cần tính tổng của các số hạng từ (u_{2}) đến (u_{54}): [ U = u_{2} + u_{4} + u_{6} + \ldots + u_{54} ]

Sử dụng công thức tổng cấp số nhân: [ U = \frac{u_{2} \cdot (q^{54} - 1)}{q - 1} ]

Thay giá trị (u_{2}) và (q) vào: [ U = \frac{54 \cdot (2^{54} - 1)}{2 - 1} = 54 \cdot (2^{54} - 1) ]

Vậy kết quả là:

U=54⋅(254−1)