Để giải quyết bài toán trên, ta cần tìm công thức tổng quát của cấp số nhân \((u_n)\) và từ đó tính tổng \(T = u_{10} + u_{11} + u_{12} + \ldots + u_{40}\).

Giả sử cấp số nhân \((u_n)\) có số hạng đầu tiên là \(u_1 = a\) và công bội là \(r\), ta có:
\[ u_n = a r^{n-1} \]

Theo đề bài:
\[ u_4 - u_2 = 54 \]
\[ u_3 - u_1 = 108 \]

Thay công thức tổng quát vào:
\[ u_4 = a r^3, \quad u_2 = a r \]
\[ u_4 - u_2 = a r^3 - a r = 54 \]
\[ a r (r^2 - 1) = 54 \quad \text{(1)} \]

\[ u_3 = a r^2, \quad u_1 = a \]
\[ u_3 - u_1 = a r^2 - a = 108 \]
\[ a (r^2 - 1) = 108 \quad \text{(2)} \]

Chia phương trình (1) cho phương trình (2):
\[ \frac{a r (r^2 - 1)}{a (r^2 - 1)} = \frac{54}{108} \]
\[ r = \frac{1}{2} \]

Thay \( r = \frac{1}{2} \) vào phương trình (2):
\[ a \left( \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 1 \right) = 108 \]
\[ a \left( \frac{1}{4} - 1 \right) = 108 \]
\[ a \left( -\frac{3}{4} \right) = 108 \]
\[ a = -\frac{108 \cdot 4}{3} \]
\[ a = -144 \]

Vậy công thức tổng quát của cấp số nhân là:
\[ u_n = -144 \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \]

Để tính tổng \(T = u_{10} + u_{11} + u_{12} + \ldots + u_{40}\), ta sử dụng công thức tổng của cấp số nhân:
\[ T = \sum_{k=10}^{40} u_k \]
\[ T = \sum_{k=10}^{40} -144 \left(\frac{1}{2}\right)^{k-1} \]

Đặt \( b = -144 \), công bội \( r = \frac{1}{2} \), số hạng đầu tiên của dãy con từ \(u_{10}\) là:
\[ u_{10} = b \left(\frac{1}{2}\right)^9 \]

Tổng của dãy con từ \(u_{10}\) đến \(u_{40}\):
\[ T = b \left(\frac{1}{2}\right)^9 + b \left(\frac{1}{2}\right)^{10} + \ldots + b \left(\frac{1}{2}\right)^{39} \]

Sử dụng công thức tổng của cấp số nhân hữu hạn:
\[ S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r} \]
trong đó:
\[ a = b \left(\frac{1}{2}\right)^9, \quad r = \frac{1}{2}, \quad n = 31 \]

Tính \(S_{31}\):
\[ S_{31} = b \left(\frac{1}{2}\right)^9 \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{31}}{1 - \frac{1}{2}} \]
\[ S_{31} = -144 \left(\frac{1}{2}\right)^9 \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{31}}{\frac{1}{2}} \]
\[ S_{31} = -144 \left(\frac{1}{2}\right)^9 \cdot 2 \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{31}\right) \]
\[ S_{31} = -144 \left(\frac{1}{2}\right)^8 \left(1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{31}\right) \]
\[ S_{31} = -144 \cdot \frac{1}{256} \left(1 - \frac{1}{2^{31}}\right) \]
\[ S_{31} = -\frac{144}{256} \left(1 - \frac{1}{2^{31}}\right) \]
\[ S_{31} = -\frac{9}{16} \left(1 - \frac{1}{2^{31}}\right) \]

Vì \(\frac{1}{2^{31}}\) rất nhỏ, ta có thể bỏ qua:
\[ S_{31} \approx -\frac{9}{16} \]

Vậy tổng \(T\) là:
\[ T = -\frac{9}{16} \approx -0.5625 \]

Tổng các số hạng từ \(u_{10}\) đến \(u_{40}\) của cấp số nhân này là xấp xỉ \(-0.5625\).

Đề bài cho biết dãy số \( (u_n) \) là cấp số nhân và có các điều kiện sau:
\[ u_4 - u_2 = 54 \]
\[ u_3 - u_1 = 108 \]

Để giải bài toán, ta sử dụng công thức tổng quát của cấp số nhân và sử dụng các phương trình để tìm ra các hệ số của dãy số.

### Bước 1: Tìm hệ số và công thức tổng quát của cấp số nhân

Gọi \( a \) là công bội (hệ số) của cấp số nhân và \( u_1 \) là số hạng đầu tiên của dãy số.

Công thức tổng quát của cấp số nhân là:
\[ u_n = u_1 \cdot a^{n-1} \]

### Bước 2: Giải hệ phương trình

Từ \( u_4 - u_2 = 54 \):
\[ u_1 \cdot a^3 - u_1 \cdot a = 54 \]
\[ u_1 \cdot a (a^2 - 1) = 54 \]
\[ u_1 \cdot a (a - 1)(a + 1) = 54 \quad \text{(1)} \]

Từ \( u_3 - u_1 = 108 \):
\[ u_1 \cdot a^2 - u_1 = 108 \]
\[ u_1 \cdot a (a - 1) = 108 \quad \text{(2)} \]

Giải hệ phương trình (1) và (2):
\[ \frac{u_1 \cdot a (a + 1)}{u_1 \cdot a (a - 1)} = \frac{54}{108} \]
\[ \frac{a + 1}{a - 1} = \frac{1}{2} \]
\[ 2(a + 1) = a - 1 \]
\[ 2a + 2 = a - 1 \]
\[ a = -3 \]

Thay \( a = -3 \) vào phương trình (2):
\[ u_1 \cdot (-3) \cdot (-4) = 108 \]
\[ 12u_1 = 108 \]
\[ u_1 = 9 \]

### Bước 3: Tính \( T = u_{10} + u_{11} + u_{12} + \ldots + u_{40} \)

Tính \( u_{10}, u_{11}, u_{12}, \ldots, u_{40} \):
\[ u_{10} = 9 \cdot (-3)^9 \]
\[ u_{11} = 9 \cdot (-3)^{10} \]
\[ u_{12} = 9 \cdot (-3)^{11} \]

Ta thấy dãy số từ \( u_{10} \) đến \( u_{40} \) là một dãy hình thành bởi cấp số nhân với \( a = -3 \) và \( u_1 = 9 \).

Sử dụng công thức tổng của cấp số nhân để tính tổng \( T \):
\[ T = u_{10} + u_{11} + \ldots + u_{40} = 9 \cdot \frac{(-3)^9 \cdot (1 - (-3)^{31})}{1 - (-3)} \]
\[ T = 9 \cdot \frac{(-3)^9 \cdot (1 + 3^{31})}{4} \]

Vậy, tổng \( T \) là:
\[ \boxed{T = 9 \cdot \frac{(-3)^9 \cdot (1 + 3^{31})}{4}} \]

Để giải bài toán, ta sẽ sử dụng các tính chất của cấp số nhân.

Gọi \( u_n = u_1 \cdot r^{n-1} \), với \( r \) là tỷ số của cấp số nhân.

### Bước 1: Thiết lập hệ phương trình từ điều kiện đã cho

Theo đề bài, chúng ta có:

1. \( u_4 - u_2 = 54 \)
- Ta có:
\[
u_4 = u_1 \cdot r^3 \quad \text{và} \quad u_2 = u_1 \cdot r
\]
- Do đó, ta có:
\[
u_1 \cdot r^3 - u_1 \cdot r = 54
\]
- Suy ra:
\[
u_1 (r^3 - r) = 54 \quad (1)
\]

2. \( u_3 - u_1 = 108 \)
- Tương tự:
\[
u_3 = u_1 \cdot r^2 \quad \text{và} \quad u_1 = u_1
\]
- Vậy:
\[
u_1 \cdot r^2 - u_1 = 108
\]
- Hay:
\[
u_1 (r^2 - 1) = 108 \quad (2)
\]

### Bước 2: Giải hệ phương trình

Từ (1) và (2), ta có hai phương trình:

1. \( u_1 (r^3 - r) = 54 \)
2. \( u_1 (r^2 - 1) = 108 \)

Chia phương trình (1) cho phương trình (2):

\[
\frac{u_1 (r^3 - r)}{u_1 (r^2 - 1)} = \frac{54}{108} \implies \frac{r^3 - r}{r^2 - 1} = \frac{1}{2}
\]

Giải phương trình này:

\[
2(r^3 - r) = r^2 - 1 \implies 2r^3 - 2r = r^2 - 1
\]

Sắp xếp lại:

\[
2r^3 - r^2 - 2r + 1 = 0
\]

Phương trình này có thể cần sử dụng bài toán nghiệm:

Thử với \( r = 1 \):

\[
2(1)^3 - (1)^2 - 2(1) + 1 = 2 - 1 - 2 + 1 = 0
\]

Vậy \( r = 1 \) là một nghiệm. Giờ ta sẽ chia đa thức cho \( r - 1 \):

Sử dụng phép chia đa thức:

\[
2r^3 - r^2 - 2r + 1 = (r - 1)(2r^2 + r - 1)
\]

Giải phương trình bậc hai \( 2r^2 + r - 1 = 0 \) bằng công thức nghiệm:

\[
r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4}
\]

Vậy có các nghiệm:

1. \( r = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
2. \( r = \frac{-4}{4} = -1 \)

Vậy các giá trị của \( r \) là \( r = 1, \frac{1}{2}, -1 \).

### Bước 3: Tính \( u_1 \)

Chọn \( r = \frac{1}{2} \) (trong các trường hợp thực tế, cấp số nhân có thể là dương và phân số cho phù hợp với đề bài):

Thay giá trị \( r \) vào phương trình (2):

\[
u_1 \left(\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 1\right) = 108 \implies u_1 \left(\frac{1}{4} - 1\right) = 108
\]

\[
u_1 \left(-\frac{3}{4}\right) = 108 \implies u_1 = -\frac{108 \cdot 4}{3} = -144
\]

### Bước 4: Tính \( T = u_{10} + u_{11} + \ldots + u_{40} \)

Dựa vào \( u_n = -144 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \), ta có:

\[
T = \sum_{n=10}^{40} u_n = \sum_{n=10}^{40} -144 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = -144 \sum_{k=9}^{39} \left(\frac{1}{2}\right)^k
\]

Đây là tổng của một cấp số nhân:

\[
S = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} = \left(\frac{1}{2}\right)^9 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{31}}{1 - \frac{1}{2}} = \left(\frac{1}{2}\right)^9 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^{31}}{\frac{1}{2}} = \left(\frac{1}{2}\right)^8 \left(1 - \frac{1}{2^{31}}\right)
\]

\[
= \frac{1}{256} \left(1 - \frac{1}{2^{31}}\right)
\]

Cuối cùng, thay vào \( T \):

\[
T = -144 \cdot \frac{1}{256} \left(1 - \frac{1}{2^{31}}\right) = -\frac{144}{256} \left(1 - \frac{1}{2^{31}}\right) = -\frac{9}{16} \left(1 - \frac{1}{2^{31}}\right)
\]

Kết quả cuối cùng là:
\[
T = -\frac{9}{16} \cdot \left(1 - \frac{1}{2^{31}}\right)
\]

Hy vọng các bước giải ở trên là hữu ích! Nếu bạn cần thêm bước nào hoặc có câu hỏi khác, hãy cho tôi biết!