### Bài 1: Xác định vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng

#### a) Mặt phẳng (P) \( x + 3y - z = 0 \) và mặt phẳng (Q) \( x - y - 2z + 1 = 0 \)

**Bước 1: Tìm vectơ pháp tuyến**

Vectơ pháp tuyến của (P) là \( \mathbf{n}_P = (1, 3, -1) \).

Vectơ pháp tuyến của (Q) là \( \mathbf{n}_Q = (1, -1, -2) \).

**Bước 2: Xét tích vô hướng**

\[ \mathbf{n}_P \cdot \mathbf{n}_Q = 1 \cdot 1 + 3 \cdot (-1) + (-1) \cdot (-2) = 1 - 3 + 2 = 0 \]

Vì tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến bằng 0, nên hai mặt phẳng vuông góc với nhau.

#### b) Mặt phẳng (P) \( 2x + y + 3z - 4 = 0 \) và mặt phẳng (Q) \( 4x + 2y + 6z = 0 \)

**Bước 1: Tìm vectơ pháp tuyến**

Vectơ pháp tuyến của (P) là \( \mathbf{n}_P = (2, 1, 3) \).

Vectơ pháp tuyến của (Q) là \( \mathbf{n}_Q = (4, 2, 6) \).

**Bước 2: Xét tỉ lệ**

\[ \mathbf{n}_Q = 2 \mathbf{n}_P \]

Vì \( \mathbf{n}_Q \) là một bội số của \( \mathbf{n}_P \), hai mặt phẳng song song.

**Bước 3: Kiểm tra vị trí**

Xét điểm \( (0, 0, 0) \):

- Thay vào (Q): \( 4 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 6 \cdot 0 = 0 \rightarrow (0, 0, 0) \in (Q) \).
- Thay vào (P): \( 2 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 3 \cdot 0 - 4 = -4 \rightarrow (0, 0, 0) \notin (P) \).

Vậy hai mặt phẳng song song và không trùng nhau.

### Bài 2: Tính khoảng cách từ điểm \( M \) đến mặt phẳng \( (P) \)

#### a) M (0, 1, -2), (P) \( 2x - 2y + z - 3 = 0 \)

Công thức khoảng cách từ điểm \( M(x_0, y_0, z_0) \) đến mặt phẳng \( ax + by + cz + d = 0 \):

\[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \]

Thay giá trị:

\[ d = \frac{|2 \cdot 0 - 2 \cdot 1 + (-2) - 3|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|-2 - 2 - 3|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{|-7|}{\sqrt{9}} = \frac{7}{3} \]

Vậy khoảng cách là \(\frac{7}{3}\).

#### b) M (1, 2, -4), (P) \( x + 2y + 3z + 4 = 0 \)

Công thức:

\[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \]

Thay giá trị:

\[ d = \frac{|1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot (-4) + 4|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{|1 + 4 - 12 + 4|}{\sqrt{1 + 4 + 9}} = \frac{|-3|}{\sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}} \]

Vậy khoảng cách là \(\frac{3}{\sqrt{14}} \approx 0.802\).

### Bài 1: Xác định vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng

#### a) Các mặt phẳng (P) và (Q)

Ta có hai mặt phẳng:

\[
(P): x + 3y - z = 0
\]
\[
(Q): x - y - 2z + 1 = 0
\]

**Bước 1: Viết lại dạng tổng quát**

Mặt phẳng (P) có hệ số pháp tuyến \(\vec{n_1} = (1, 3, -1)\) và mặt phẳng (Q) có hệ số pháp tuyến \(\vec{n_2} = (1, -1, -2)\).

**Bước 2: Tính tích có hướng \(\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}\)**

Tính góc giữa hai mặt phẳng bằng cách tính tích có hướng:

\[
\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1 \cdot 1 + 3 \cdot (-1) + (-1) \cdot (-2) = 1 - 3 + 2 = 0
\]

Vì tích có hướng bằng 0, hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc nhau.

#### b) Các mặt phẳng (P) và (Q)

Ta có:

\[
(P): 2x + y + 3z - 4 = 0
\]
\[
(Q): 4x + 2y + 6z = 0
\]

**Bước 1: Viết lại dạng tổng quát**

Mặt phẳng (P) có hệ số pháp tuyến \(\vec{n_1} = (2, 1, 3)\) và mặt phẳng (Q) có hệ số pháp tuyến \(\vec{n_2} = (4, 2, 6)\).

**Bước 2: Xác định mối quan hệ giữa \(\vec{n_1}\) và \(\vec{n_2}\)**

Ta thấy rằng:

\[
\vec{n_2} = 2 \vec{n_1}
\]

Điều này có nghĩa là hai mặt phẳng (P) và (Q) trùng nhau, vì hệ số pháp tuyến là tỷ lệ thuận.

### Kết luận Bài 1:
- a) (P) và (Q) vuông góc nhau.
- b) (P) và (Q) trùng nhau.

---

### Bài 2: Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P)

Khoảng cách từ một điểm \(M(x_0, y_0, z_0)\) đến mặt phẳng \(Ax + By + Cz + D = 0\) được tính bằng công thức:

\[
d(M, (P)) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}
\]

#### a) Tính khoảng cách từ M(0; 1; -2) đến mặt phẳng (P): \(2x - 2y + z - 3 = 0\)

- \(A = 2, B = -2, C = 1, D = -3\)
- \(M(0, 1, -2)\)

Áp dụng công thức:

\[
d(M, (P)) = \frac{|2 \cdot 0 + (-2) \cdot 1 + 1 \cdot (-2) - 3|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}}
\]

Tính toán:

\[
= \frac{|0 - 2 - 2 - 3|}{\sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{|-7|}{\sqrt{9}} = \frac{7}{3}
\]

#### b) Tính khoảng cách từ M(1; 2; -4) đến mặt phẳng (P): \(x + 2y + 3z + 4 = 0\)

- \(A = 1, B = 2, C = 3, D = 4\)
- \(M(1, 2, -4)\)

Áp dụng công thức:

\[
d(M, (P)) = \frac{|1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot (-4) + 4|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}}
\]

Tính toán:

\[
= \frac{|1 + 4 - 12 + 4|}{\sqrt{1 + 4 + 9}} = \frac{|-3|}{\sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}} \approx 0.8
\]

### Kết luận Bài 2:
- a) Khoảng cách từ \(M(0; 1; -2)\) đến mặt phẳng (P) là \(\frac{7}{3}\).
- b) Khoảng cách từ \(M(1; 2; -4)\) đến mặt phẳng (P) là \(\frac{3}{\sqrt{14}}\).