Để tính giá trị của biểu thức \( B = x^4 - 103x^3 + 305x^2 - 203x + 116 \) với \( x = 101 \), ta sẽ tiến hành rút gọn biểu thức trước khi thay giá trị vào để tránh tính toán phức tạp.

### Bước 1: Đặt \( x = 101 \)

Để dễ tính, chúng ta đặt \( x = 101 \). Khi đó, \( x = 101 = 100 + 1 \). Chúng ta đặt \( x = 100 + 1 \) và khai triển biểu thức theo \( x = 100 + 1 \).

### Bước 2: Biểu diễn lại \( B \)

Chúng ta biểu diễn lại \( B \) theo \( x = 100 + 1 \):

\[
B = (100 + 1)^4 - 103(100 + 1)^3 + 305(100 + 1)^2 - 203(100 + 1) + 116
\]

### Bước 3: Sử dụng khai triển nhị thức Newton

Áp dụng khai triển nhị thức Newton, ta có:

\[
(100 + 1)^4 = 100^4 + 4 \cdot 100^3 \cdot 1 + 6 \cdot 100^2 \cdot 1^2 + 4 \cdot 100 \cdot 1^3 + 1^4
\]

\[
(100 + 1)^3 = 100^3 + 3 \cdot 100^2 \cdot 1 + 3 \cdot 100 \cdot 1^2 + 1^3
\]

\[
(100 + 1)^2 = 100^2 + 2 \cdot 100 \cdot 1 + 1^2
\]

### Bước 4: Thay các giá trị khai triển vào biểu thức \( B \)

Thay các giá trị trên vào biểu thức \( B \):

\[
B = (100^4 + 4 \cdot 100^3 + 6 \cdot 100^2 + 4 \cdot 100 + 1) - 103 (100^3 + 3 \cdot 100^2 + 3 \cdot 100 + 1) + 305 (100^2 + 2 \cdot 100 + 1) - 203 (100 + 1) + 116
\]

### Bước 5: Thu gọn các hạng tử

Bây giờ chúng ta sẽ thu gọn các hạng tử từng nhóm:

1. \( 100^4 \)
2. \( 4 \cdot 100^3 - 103 \cdot 100^3 \)
3. \( 6 \cdot 100^2 - 309 \cdot 100^2 + 305 \cdot 100^2 \)
4. \( 4 \cdot 100 - 309 \cdot 100 + 610 \cdot 100 - 203 \cdot 100 \)
5. \( 1 - 103 + 305 - 203 + 116 \)

\[
B = 100^4 + (4 - 103) \cdot 100^3 + (6 - 309 + 305) \cdot 100^2 + (4 - 309 + 610 - 203) \cdot 100 + (1 - 103 + 305 - 203 + 116)
\]

### Bước 6: Tính toán các hệ số

\[
4 - 103 = -99
\]

\[
6 - 309 + 305 = 2
\]

\[
4 - 309 + 610 - 203 = 102
\]

\[
1 - 103 + 305 - 203 + 116 = 116
\]

### Bước 7: Kết hợp lại biểu thức đã đơn giản hóa

\[
B = 100^4 - 99 \cdot 100^3 + 2 \cdot 100^2 + 102 \cdot 100 + 116
\]

### Bước 8: Thay giá trị \( x = 101 \)

Cuối cùng, ta thay \( x = 101 \) vào:

\[
100^4 = (10^2)^4 = 10^8 = 100000000
\]

\[
- 99 \cdot 100^3 = - 99 \cdot (10^2)^3 = - 99 \cdot 10^6 = - 99000000
\]

\[
2 \cdot 100^2 = 2 \cdot (10^2)^2 = 2 \cdot 10^4 = 20000
\]

\[
102 \cdot 100 = 102 \cdot 10^2 = 10200
\]

\[
116 \text{ (không thay đổi)}
\]

### Bước 9: Cộng các giá trị lại với nhau

\[
B = 100000000 - 99000000 + 20000 + 10200 + 116
\]

\[
= 100000000 - 99000000 + 20000 + 10200 + 116
\]

\[
= 10000000 + 20000 + 10200 + 116
\]

\[
= 10000000 + 20000 + 10200 + 116
\]

\[
= 10000000 + 20000 + 10200 + 116 = 10000000 + 20000 + 10200 + 116 = 10030416
\]

Vậy giá trị của biểu thức khi \( x = 101 \) là \( 10030416 \).

Để tính giá trị biểu thức \( B = x^4 - 103x^3 + 305x^2 - 203x + 116 \) với \( x = 101 \), ta thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Thay \( x \) vào biểu thức

Giá trị cần tính là:

\[
B = 101^4 - 103 \cdot 101^3 + 305 \cdot 101^2 - 203 \cdot 101 + 116
\]

### Bước 2: Tính từng giá trị

Ta sẽ tính từng thành phần của biểu thức.

1. **Tính \( 101^2 \)**:

\[
101^2 = 10201
\]

2. **Tính \( 101^3 \)**:

\[
101^3 = 101 \cdot 101^2 = 101 \cdot 10201 = 1030301
\]

3. **Tính \( 101^4 \)**:

\[
101^4 = 101 \cdot 101^3 = 101 \cdot 1030301 = 104060401
\]

### Bước 3: Thay vào biểu thức \( B \)

Bây giờ, ta sẽ thay các giá trị vừa tính vào biểu thức \( B \):

\[
B = 104060401 - 103 \cdot 1030301 + 305 \cdot 10201 - 203 \cdot 101 + 116
\]

### Bước 4: Tính các nhân các hệ số

1. **Tính \( 103 \cdot 1030301 \)**:

\[
103 \cdot 1030301 = 106090103
\]

2. **Tính \( 305 \cdot 10201 \)**:

\[
305 \cdot 10201 = 3110305
\]

3. **Tính \( 203 \cdot 101 \)**:

\[
203 \cdot 101 = 20503
\]

### Bước 5: Thay và tính giá trị \( B \)

Giờ, thay các giá trị vừa tính vào biểu thức:

\[
B = 104060401 - 106090103 + 3110305 - 20503 + 116
\]

### Bước 6: Tính từng phần

1. **Tính \( 104060401 - 106090103 \)**:

\[
104060401 - 106090103 = -202702
\]

2. **Tính \( -202702 + 3110305 \)**:

\[
-202702 + 3110305 = 2907603
\]

3. **Tính \( 2907603 - 20503 \)**:

\[
2907603 - 20503 = 2887100
\]

4. **Cuối cùng, cộng với 116**:

\[
2887100 + 116 = 2887216
\]

### Kết luận

Giá trị của biểu thức \( B \) khi \( x = 101 \) là:

\[
\boxed{2887216}
\]

Để tính giá trị của biểu thức ( B = x^4 - 103x^3 + 305x^2 - 203x + 116 ) tại ( x = 101 ) mà không thay số trực tiếp, ta có thể sử dụng phương pháp rút gọn biểu thức.

Trước tiên, ta đặt ( x = 101 ) và biểu diễn ( x ) dưới dạng ( x = 100 + 1 ). Sau đó, ta thay ( x = 100 + 1 ) vào biểu thức và rút gọn.

1.
Biểu diễn lại biểu thức ( B ) với ( x = 100 + 1 ):

$<$
B = (100 + 1)^4 - 103(100 + 1)^3 + 305(100 + 1)^2 - 203(100 + 1) + 116

1.
Khai triển các lũy thừa:

• ( (100 + 1)^4 = 100^4 + 4 \cdot 100^3 \cdot 1 + 6 \cdot 100^2 \cdot 1^2 + 4 \cdot 100 \cdot 1^3 + 1^4 )

• ( (100 + 1)^3 = 100^3 + 3 \cdot 100^2 \cdot 1 + 3 \cdot 100 \cdot 1^2 + 1^3 )

• ( (100 + 1)^2 = 100^2 + 2 \cdot 100 \cdot 1 + 1^2 )

1.
Thay các khai triển vào biểu thức ( B ):

$<$
B = (100^4 + 4 \cdot 100^3 + 6 \cdot 100^2 + 4 \cdot 100 + 1) - 103(100^3 + 3 \cdot 100^2 + 3 \cdot 100 + 1) + 305(100^2 + 2 \cdot 100 + 1) - 203(100 + 1) + 116

1.
Rút gọn từng phần:

• ( 100^4 )

• ( 4 \cdot 100^3 - 103 \cdot 100^3 = -99 \cdot 100^3 )

• ( 6 \cdot 100^2 - 309 \cdot 100^2 + 305 \cdot 100^2 = 2 \cdot 100^2 )

• ( 4 \cdot 100 - 309 \cdot 100 + 610 \cdot 100 - 203 \cdot 100 = 102 \cdot 100 )

• ( 1 - 103 + 305 - 203 + 116 = 116 )

1.
Kết quả cuối cùng:

$<$
B = 100^4 - 99 \cdot 100^3 + 2 \cdot 100^2 + 102 \cdot 100 + 116

1.
Thay giá trị ( 100 ) vào và tính toán:

• ( 100^4 = 100000000 )

• ( 99 \cdot 100^3 = 99000000 )

• ( 2 \cdot 100^2 = 20000 )

• ( 102 \cdot 100 = 10200 )

$<$
B = 100000000 - 99000000 + 20000 + 10200 + 116 = 10200 + 20000 + 116 = 30316

Vậy, giá trị của biểu thức ( B ) tại ( x = 101 ) là 30316.

Bạn có cần thêm thông tin hoặc trợ giúp gì khác không?