Để kiểm tra điều kiện để hàm số \( f(x) = \frac{1}{3}x^3 + mx^2 + 4x + 3 \) đồng biến trên \(\mathbb{R}\), ta cần tìm đạo hàm của hàm số và xem xét điều kiện của nó.

Tính đạo hàm:

\[
f'(x) = x^2 + 2mx + 4
\]

Hàm \( f(x) \) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nếu đạo hàm \( f'(x) \) không âm với mọi giá trị \( x \), hoặc nói cách khác:

\[
f'(x) \geq 0 \quad \text{với mọi } x \in \mathbb{R}
\]

Điều này tương đương với bất phương trình bậc hai \( x^2 + 2mx + 4 \geq 0 \) không có nghiệm thực. Để một phương trình bậc hai \( ax^2 + bx + c \) không có nghiệm thực, điều kiện cần thiết là:

\[
\Delta < 0
\]

Với \( a = 1 \), \( b = 2m \), và \( c = 4 \), ta có:

\[
\Delta = (2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4m^2 - 16
\]

Để hàm số không có nghiệm thực, ta yêu cầu:

\[
4m^2 - 16 < 0
\]

Giải bất phương trình này:

\[
4m^2 < 16 \implies m^2 < 4 \implies -2 < m < 2
\]

Dãy số nguyên thỏa mãn điều kiện này là:

\(-1, 0, 1\)

Vì vậy, số giá trị nguyên của tham số \(m\) sao cho hàm số \(f(x)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) là **3**.