### Bài 1: Tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)

#### a) (P) có 2 vectơ chỉ phương: \(\mathbf{u} = (1, -2, 3)\) và \(\mathbf{v} = (2, 0, 1)\)

Để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) từ hai vectơ chỉ phương \(\mathbf{u}\) và \(\mathbf{v}\), ta tính tích vô hướng của hai vectơ này:

\[
\mathbf{n} = \mathbf{u} \times \mathbf{v}
\]

Tích vectơ (hoặc tích chéo) của hai vectơ \(\mathbf{u}\) và \(\mathbf{v}\) được tính như sau:

\[
\mathbf{n} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & -2 & 3 \\
2 & 0 & 1
\end{vmatrix}
\]

Tính định thức:

\[
\mathbf{n} = \mathbf{i} \left((-2 \cdot 1) - (3 \cdot 0)\right) - \mathbf{j} \left((1 \cdot 1) - (3 \cdot 2)\right) + \mathbf{k} \left((1 \cdot 0) - ((-2) \cdot 2)\right)
\]

\[
\mathbf{n} = \mathbf{i} (-2) - \mathbf{j} (1 - 6) + \mathbf{k} (0 + 4)
\]

\[
\mathbf{n} = (-2, 5, 4)
\]

Vậy, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\mathbf{n} = (-2, 5, 4)\).

#### b) (P) chứa 3 điểm không thẳng hàng \(A(1,0,2)\), \(B(-3,4,1)\), \(C(0,2,3)\)

Để tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) chứa ba điểm A, B, và C, ta thực hiện các bước sau:

1. Tính hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng bằng cách sử dụng các điểm A, B, và C:

\[
\mathbf{u} = \overrightarrow{AB} = B - A = (-3 - 1, 4 - 0, 1 - 2) = (-4, 4, -1)
\]

\[
\mathbf{v} = \overrightarrow{AC} = C - A = (0 - 1, 2 - 0, 3 - 2) = (-1, 2, 1)
\]

2. Tính tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương \(\mathbf{u}\) và \(\mathbf{v}\):

\[
\mathbf{n} = \mathbf{u} \times \mathbf{v}
\]

Tính định thức:

\[
\mathbf{n} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
-4 & 4 & -1 \\
-1 & 2 & 1
\end{vmatrix}
\]

Tính định thức:

\[
\mathbf{n} = \mathbf{i} \left((4 \cdot 1) - ((-1) \cdot 2)\right) - \mathbf{j} \left((-4 \cdot 1) - ((-1) \cdot (-1))\right) + \mathbf{k} \left((-4 \cdot 2) - (4 \cdot (-1))\right)
\]

\[
\mathbf{n} = \mathbf{i} (4 + 2) - \mathbf{j} (-4 - 1) + \mathbf{k} (-8 + 4)
\]

\[
\mathbf{n} = (6, 5, -4)
\]

Vậy, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\mathbf{n} = (6, 5, -4)\).

### Bài 2: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (P)

#### a) (P) đi qua điểm \(M(1,2,-1)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\mathbf{n} = (3, 4, -5)\)

Phương trình mặt phẳng có vectơ pháp tuyến \(\mathbf{n} = (a, b, c)\) và đi qua điểm \(M(x_0, y_0, z_0)\) được cho bởi:

\[
a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0
\]

Với \(\mathbf{n} = (3, 4, -5)\) và điểm \(M(1, 2, -1)\), phương trình mặt phẳng là:

\[
3(x - 1) + 4(y - 2) - 5(z + 1) = 0
\]

Mở rộng phương trình:

\[
3x - 3 + 4y - 8 - 5z - 5 = 0
\]

\[
3x + 4y - 5z - 16 = 0
\]

Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là \(3x + 4y - 5z - 16 = 0\).

#### b) (P) chứa ba điểm không thẳng hàng \(A(-1,2,3)\), \(B(4,3,5)\), \(C(2,3,2)\)

Để lập phương trình mặt phẳng chứa ba điểm A, B, và C, ta cần:

1. Tính hai vectơ chỉ phương từ các điểm này:

\[
\mathbf{u} = \overrightarrow{AB} = B - A = (4 - (-1), 3 - 2, 5 - 3) = (5, 1, 2)
\]

\[
\mathbf{v} = \overrightarrow{AC} = C - A = (2 - (-1), 3 - 2, 2 - 3) = (3, 1, -1)
\]

2. Tính vectơ pháp tuyến của mặt phẳng bằng tích vô hướng của \(\mathbf{u}\) và \(\mathbf{v}\):

\[
\mathbf{n} = \mathbf{u} \times \mathbf{v}
\]

Tính định thức:

\[
\mathbf{n} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
5 & 1 & 2 \\
3 & 1 & -1
\end{vmatrix}
\]

Tính định thức:

\[
\mathbf{n} = \mathbf{i} \left(1 \cdot (-1) - 2 \cdot 1\right) - \mathbf{j} \left(5 \cdot (-1) - 2 \cdot 3\right) + \mathbf{k} \left(5 \cdot 1 - 1 \cdot 3\right)
\]

\[
\mathbf{n} = \mathbf{i} (-1 - 2) - \mathbf{j} (-5 - 6) + \mathbf{k} (5 - 3)
\]

\[
\mathbf{n} = (-3, 11, 2)
\]

3. Phương trình mặt phẳng có vectơ pháp tuyến \(\mathbf{n} = (-3, 11, 2)\) và đi qua điểm A(-1, 2, 3) được cho bởi:

\[
-3(x + 1) + 11(y - 2) + 2(z - 3) = 0
\]

Mở rộng phương trình:

\[
-3x - 3 + 11y - 22 + 2z - 6 = 0
\]

\[
-3x + 11y + 2z - 31 = 0
\]

Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là \(-3x + 11y + 2z - 31 = 0\).

## Bài 1: Tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)

### a) Mặt phẳng (P) có hai vectơ chỉ phương \(\mathbf{u} = (1; -2; 3)\) và \(\mathbf{v} = (2; 0; 1)\)

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là tích có hướng của \(\mathbf{u}\) và \(\mathbf{v}\):

\[
\mathbf{n} = \mathbf{u} \times \mathbf{v}
\]

\[
\mathbf{u} = (1, -2, 3)
\]

\[
\mathbf{v} = (2, 0, 1)
\]

Tính tích có hướng:

\[
\mathbf{n} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & -2 & 3 \\
2 & 0 & 1
\end{vmatrix}
= \mathbf{i}( -2 \cdot 1 - 0 \cdot 3 ) - \mathbf{j}( 1 \cdot 1 - 3 \cdot 2 ) + \mathbf{k}( 1 \cdot 0 - (-2) \cdot 2 )
\]

\[
\mathbf{n} = \mathbf{i}( -2 - 0 ) - \mathbf{j}( 1 - 6 ) + \mathbf{k}( 0 + 4 )
\]

\[
\mathbf{n} = -2\mathbf{i} + 5\mathbf{j} + 4\mathbf{k}
\]

Vậy một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\mathbf{n} = (-2, 5, 4)\).

### b) Mặt phẳng (P) chứa 3 điểm không thẳng hàng A(1; 0; 2), B(-3; 4; 1), C(0; 2; 3)

Trước tiên, ta tìm hai vectơ chỉ phương \(\mathbf{AB}\) và \(\mathbf{AC}\):

\[
\mathbf{AB} = B - A = (-3 - 1, 4 - 0, 1 - 2) = (-4, 4, -1)
\]

\[
\mathbf{AC} = C - A = (0 - 1, 2 - 0, 3 - 2) = (-1, 2, 1)
\]

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là tích có hướng của \(\mathbf{AB}\) và \(\mathbf{AC}\):

\[
\mathbf{n} = \mathbf{AB} \times \mathbf{AC}
\]

Tính tích có hướng:

\[
\mathbf{n} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
-4 & 4 & -1 \\
-1 & 2 & 1
\end{vmatrix}
= \mathbf{i}( 4 \cdot 1 - (-1) \cdot 2 ) - \mathbf{j}( -4 \cdot 1 - (-1) \cdot (-1) ) + \mathbf{k}( -4 \cdot 2 - 4 \cdot (-1) )
\]

\[
\mathbf{n} = \mathbf{i}( 4 + 2 ) - \mathbf{j}( -4 - 1 ) + \mathbf{k}( -8 + 4 )
\]

\[
\mathbf{n} = 6\mathbf{i} + 5\mathbf{j} - 4\mathbf{k}
\]

Vậy một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\mathbf{n} = (6, 5, -4)\).

## Bài 2: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng (P)

### a) Mặt phẳng (P) đi qua điểm \(M(1, 2, -1)\) và có một vectơ pháp tuyến \(\mathbf{n} = (3, 4, -5)\)

Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng:

\[
ax + by + cz + d = 0
\]

Trong đó \(\mathbf{n} = (a, b, c)\).

Thay \(\mathbf{n} = (3, 4, -5)\) và điểm \(M(1, 2, -1)\) vào phương trình:

\[
3x + 4y - 5z + d = 0
\]

Thay \(M(1, 2, -1)\) vào để tìm \(d\):

\[
3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 - 5 \cdot (-1) + d = 0
\]

\[
3 + 8 + 5 + d = 0
\]

\[
16 + d = 0
\]

\[
d = -16
\]

Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là:

\[
3x + 4y - 5z - 16 = 0
\]

### b) Mặt phẳng (P) chứa ba điểm không thẳng hàng \(A(-1, 2, 3)\), \(B(4, 3, 5)\), \(C(2, 3, 2)\)

Trước tiên, ta tìm hai vectơ chỉ phương \(\mathbf{AB}\) và \(\mathbf{AC}\):

\[
\mathbf{AB} = B - A = (4 - (-1), 3 - 2, 5 - 3) = (5, 1, 2)
\]

\[
\mathbf{AC} = C - A = (2 - (-1), 3 - 2, 2 - 3) = (3, 1, -1)
\]

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là tích có hướng của \(\mathbf{AB}\) và \(\mathbf{AC}\):

\[
\mathbf{n} = \mathbf{AB} \times \mathbf{AC}
\]

Tính tích có hướng:

\[
\mathbf{n} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
5 & 1 & 2 \\
3 & 1 & -1
\end{vmatrix}
= \mathbf{i}( 1 \cdot (-1) - 2 \cdot 1 ) - \mathbf{j}( 5 \cdot (-1) - 2 \cdot 3 ) + \mathbf{k}( 5 \cdot 1 - 1 \cdot 3 )
\]

\[
\mathbf{n} = \mathbf{i}( -1 - 2 ) - \mathbf{j}( -5 - 6 ) + \mathbf{k}( 5 - 3 )
\]

\[
\mathbf{n} = -3\mathbf{i} + 11\mathbf{j} + 2\mathbf{k}
\]

Vậy một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\mathbf{n} = (-3, 11, 2)\).

Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng:

\[
-3x + 11y + 2z + d = 0
\]

Thay điểm \(A(-1, 2, 3)\) vào để tìm \(d\):

\[
-3 \cdot (-1) + 11 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + d = 0
\]

\[
3 + 22 + 6 + d = 0
\]

\[
31 + d = 0
\]

\[
d = -31
\]

Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) là:

\[
-3x + 11y + 2z - 31 = 0
\]