Chúng ta cần viết biểu thức \(2x^2 + (x-1)^2 + 3(x+1)^2 + 4(x+2)^2\) dưới dạng tổng của hai bình phương của các biểu thức khác.

Đầu tiên, ta khai triển các bình phương trong biểu thức ban đầu:

\[
(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1
\]
\[
3(x+1)^2 = 3(x^2 + 2x + 1) = 3x^2 + 6x + 3
\]
\[
4(x+2)^2 = 4(x^2 + 4x + 4) = 4x^2 + 16x + 16
\]

Bây giờ, ta cộng tất cả các biểu thức lại:

\[
2x^2 + (x^2 - 2x + 1) + (3x^2 + 6x + 3) + (4x^2 + 16x + 16)
\]

Kết hợp các số hạng lại với nhau:

\[
2x^2 + x^2 - 2x + 1 + 3x^2 + 6x + 3 + 4x^2 + 16x + 16
\]

Tổng hợp các số hạng chứa \(x^2\):

\[
2x^2 + x^2 + 3x^2 + 4x^2 = 10x^2
\]

Tổng hợp các số hạng chứa \(x\):

\[
-2x + 6x + 16x = 20x
\]

Tổng hợp các số hạng hằng số:

\[
1 + 3 + 16 = 20
\]

Vậy biểu thức trở thành:

\[
10x^2 + 20x + 20
\]

Ta nhận thấy rằng \(10x^2 + 20x + 20\) có thể được viết lại thành:

\[
10(x^2 + 2x + 2)
\]

Ta cần xem xét liệu có thể biểu diễn \(x^2 + 2x + 2\) dưới dạng tổng của hai bình phương:

\[
x^2 + 2x + 2 = (x+1)^2 + 1
\]

Thay \(x^2 + 2x + 2\) vào biểu thức ban đầu:

\[
10(x^2 + 2x + 2) = 10((x+1)^2 + 1) = 10(x+1)^2 + 10
\]

Biểu thức trên là tổng của hai bình phương:

\[
10(x+1)^2 + 10 \cdot 1^2 = \sqrt{10}(x+1)^2 + \sqrt{10}(1)^2 = (\sqrt{10}(x+1))^2 + (\sqrt{10})^2
\]

Do đó, ta đã viết biểu thức ban đầu dưới dạng tổng của hai bình phương:

\[
10(x+1)^2 + 10 = (\sqrt{10}(x+1))^2 + (\sqrt{10})^2
\]

Để viết biểu thức \(2x^2 + (x-1)^2 + 3(x+1)^2 + 4(x+2)^2\) dưới dạng tổng các bình phương của hai biểu thức, chúng ta thực hiện như sau:

Trước hết, khai triển các biểu thức:

1. \(2x^2\)
2. \((x-1)^2 = x^2 - 2x + 1\)
3. \(3(x+1)^2 = 3(x^2 + 2x + 1) = 3x^2 + 6x + 3\)
4. \(4(x+2)^2 = 4(x^2 + 4x + 4) = 4x^2 + 16x + 16\)

Bây giờ, cộng các biểu thức đã khai triển:

\[2x^2 + (x-1)^2 + 3(x+1)^2 + 4(x+2)^2 = 2x^2 + (x^2 - 2x + 1) + (3x^2 + 6x + 3) + (4x^2 + 16x + 16)\]

Gộp các hạng tử tương ứng lại với nhau:

\[= 2x^2 + x^2 - 2x + 1 + 3x^2 + 6x + 3 + 4x^2 + 16x + 16\]
\[= (2x^2 + x^2 + 3x^2 + 4x^2) + (-2x + 6x + 16x) + (1 + 3 + 16)\]
\[= 10x^2 + 20x + 20\]

Bây giờ, chúng ta viết biểu thức này dưới dạng tổng các bình phương của hai biểu thức. Chúng ta có:

\[10x^2 + 20x + 20 = 10(x^2 + 2x + 2)\]

Nhận thấy rằng \(x^2 + 2x + 2\) có thể được viết dưới dạng bình phương của một biểu thức:

\[x^2 + 2x + 1 + 1 = (x+1)^2 + 1\]

Do đó:

\[10(x^2 + 2x + 2) = 10((x+1)^2 + 1)\]
\[= 10(x+1)^2 + 10\]

Vậy:

\[2x^2 + (x-1)^2 + 3(x+1)^2 + 4(x+2)^2 = 10(x+1)^2 + 10\]

Chúng ta có thể viết biểu thức này thành:

\[10(x+1)^2 + 10 = 10(x+1)^2 + \sqrt{10}^2\]

Như vậy, biểu thức đã cho được viết dưới dạng tổng của hai bình phương là:

\[10(x+1)^2 + \sqrt{10}^2\]