Để tìm công thức tổng quát \(U_n\) của dãy số đã cho, ta cần sử dụng phương pháp giải phương trình truy hồi. Ta có:

1. \(U_1 = 1\)
2. \(U_{n+1} = 2U_n + 1\)

Ta sẽ giải phương trình truy hồi này.

Bắt đầu từ \(U_1\):

- \(U_2 = 2U_1 + 1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3\)
- \(U_3 = 2U_2 + 1 = 2 \cdot 3 + 1 = 7\)
- \(U_4 = 2U_3 + 1 = 2 \cdot 7 + 1 = 15\)

Ta nhận thấy rằng các số hạng của dãy có thể được biểu diễn dưới dạng tổng quát như sau:
\[
U_{n+1} = 2U_n + 1
\]

Để tìm công thức tổng quát cho \(U_n\), chúng ta tìm nghiệm của phương trình truy hồi này. Ta giả sử:
\[
U_n = a \cdot 2^n + b
\]

Ta cắm \(U_{n+1}\) vào phương trình truy hồi:
\[
U_{n+1} = a \cdot 2^{n+1} + b
\]

Bằng cách thay \(U_n = a \cdot 2^n + b\) vào phương trình:
\[
a \cdot 2^{n+1} + b = 2(a \cdot 2^n + b) + 1
\]

Giải phương trình trên:
\[
a \cdot 2^{n+1} + b = 2a \cdot 2^n + 2b + 1
\]
\[
a \cdot 2^{n+1} + b = 2a \cdot 2^n + 2b + 1
\]

Bằng cách so sánh các hệ số của \(2^n\) và hệ số không chứa \(2^n\), ta có:
\[
a \cdot 2^{n+1} = 2a \cdot 2^n \quad \Rightarrow \quad a = a
\]
\[
b = 2b + 1 \quad \Rightarrow \quad b = -1
\]

Vậy công thức tổng quát cho \(U_n\) là:
\[
U_n = a \cdot 2^n - 1
\]

Để tìm \(a\), ta thay \(U_1 = 1\) vào công thức:
\[
U_1 = a \cdot 2^1 - 1 = 1
\]
\[
2a - 1 = 1
\]
\[
2a = 2
\]
\[
a = 1
\]

Vậy công thức tổng quát cho \(U_n\) là:
\[
U_n = 2^n - 1
\]

Để kiểm tra lại:
- \(U_1 = 2^1 - 1 = 1\)
- \(U_2 = 2^2 - 1 = 3\)
- \(U_3 = 2^3 - 1 = 7\)
- \(U_4 = 2^4 - 1 = 15\)

Các giá trị này khớp với các giá trị đã tính ban đầu.

Vậy công thức tổng quát của \(U_n\) là:
\[
U_n = 2^n - 1
\]