Để tìm biểu thức của \( \frac{\sin(a+b)}{\sin(a-b)} \), ta sử dụng công thức bổ sung cho tổng và hiệu của hai góc:

\[ \sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \]
\[ \sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b \]

Do đó,

\[ \frac{\sin(a+b)}{\sin(a-b)} = \frac{\sin a \cos b + \cos a \sin b}{\sin a \cos b - \cos a \sin b} \]

Giờ ta thực hiện phép chia tử số và mẫu số cho \( \cos b \):

\[ \frac{\sin a \cos b + \cos a \sin b}{\sin a \cos b - \cos a \sin b} = \frac{\sin a \cos b / \cos b + \cos a \sin b / \cos b}{\sin a \cos b / \cos b - \cos a \sin b / \cos b} \]

Simplify the expressions:

\[ = \frac{\sin a + \cos a \tan b}{\sin a - \cos a \tan b} \]

Vậy, ta có được biểu thức cuối cùng của \( \frac{\sin(a+b)}{\sin(a-b)} \):

\[ \frac{\sin(a+b)}{\sin(a-b)} = \frac{\sin a + \cos a \tan b}{\sin a - \cos a \tan b} \]

Đây là biểu thức tương đương và có thể dùng để tính giá trị của \( \frac{\sin(a+b)}{\sin(a-b)} \) khi biết các giá trị của \( a \) và \( b \).