Để tính các giá trị lượng giác của góc \(\alpha\) với \(\sin \alpha = \frac{2}{7}\) và \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\), ta sẽ sử dụng định lý Pythagore.

### Bước 1: Tính \(\cos \alpha\)

Theo định lý Pythagore:

\[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.
\]

Thay \(\sin \alpha = \frac{2}{7}\):

\[
\left(\frac{2}{7}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1.
\]

\[
\frac{4}{49} + \cos^2 \alpha = 1.
\]

\[
\cos^2 \alpha = 1 - \frac{4}{49} = \frac{49}{49} - \frac{4}{49} = \frac{45}{49}.
\]

### Bước 2: Tính giá trị của \(\cos \alpha\)

\[
\cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{45}{49}} = \pm \frac{\sqrt{45}}{7} = \pm \frac{3\sqrt{5}}{7}.
\]

Trong khoảng \(90^\circ < \alpha < 180^\circ\), \(\cos \alpha\) là âm, nên:

\[
\cos \alpha = -\frac{3\sqrt{5}}{7}.
\]

### Bước 3: Tính \(\tan \alpha\)

\[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{2}{7}}{-\frac{3\sqrt{5}}{7}} = -\frac{2}{3\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{15}.
\]

### Kết quả

Tóm lại, các giá trị lượng giác của góc \(\alpha\) là:

- \(\sin \alpha = \frac{2}{7}\)
- \(\cos \alpha = -\frac{3\sqrt{5}}{7}\)
- \(\tan \alpha = -\frac{2\sqrt{5}}{15}\)

\(\boxed{\sin \alpha = \frac{2}{7}, \cos \alpha = -\frac{3\sqrt{5}}{7}, \tan \alpha = -\frac{2\sqrt{5}}{15}.}\)