Để tìm khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số, ta sẽ xét đạo hàm của từng hàm số và tìm nghiệm của đạo hàm.

### 1. Hàm số: \( y = \frac{1}{3}x^3 + 4x + 1 \)

**Bước 1: Tính đạo hàm**

\[
y' = x^2 + 4
\]

**Bước 2: Xét dấu của đạo hàm**

- \( y' = x^2 + 4 \geq 4 > 0 \) với mọi \( x \).

**Kết luận:**

Hàm số **đồng biến** trên \( \mathbb{R} \).

---

### 2. Hàm số: \( y = -\frac{1}{3}x^3 + 5x^2 - 26x - 1 \)

**Bước 1: Tính đạo hàm**

\[
y' = -x^2 + 10x - 26
\]

**Bước 2: Giải phương trình đạo hàm bằng 0**

\[
-x^2 + 10x - 26 = 0 \Rightarrow x^2 - 10x + 26 = 0
\]

**Tính delta:**

\[
\Delta = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot 26 = 100 - 104 = -4
\]

Vì \(\Delta < 0\), phương trình không có nghiệm.

**Bước 3: Xét dấu của đạo hàm**

- Đạo hàm \(y' = -x^2 + 10x - 26\) là một hàm bậc hai mở xuống và luôn có giá trị âm.

**Kết luận:**

Hàm số **nghịch biến** trên \( \mathbb{R} \).

---

### Tóm tắt kết quả:

1. Hàm số \( y = \frac{1}{3}x^3 + 4x + 1 \) **đồng biến** trên \( \mathbb{R} \).
2. Hàm số \( y = -\frac{1}{3}x^3 + 5x^2 - 26x - 1 \) **nghịch biến** trên \( \mathbb{R} \).