Để hàm số \( y = -x^3 + (3+m)x^2 - (2m-1)x + 2 \) luôn giảm trên \( \mathbb{R} \), điều kiện cần và đủ là đạo hàm của hàm số này luôn âm trên toàn miền xác định.

Đạo hàm của hàm số \( y \) theo \( x \) là:
\[ y' = \frac{d}{dx}(-x^3 + (3+m)x^2 - (2m-1)x + 2) \]
\[ y' = -3x^2 + 2(3+m)x - (2m-1) \]

Để hàm số \( y \) luôn giảm, ta cần \( y' < 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \).

Đặt \( y' = -3x^2 + 2(3+m)x - (2m-1) \).

Để hàm số này luôn âm, hệ số của \( x^2 \) (\( -3 \)) phải là số dương và đồng thời hệ số của \( x \) (\( 2(3+m) \)) phải là số âm.

1. Hệ số của \( x^2 \): \( -3 > 0 \) (đúng vì hệ số của \( x^2 \) luôn là số âm).

2. Hệ số của \( x \): \( 2(3+m) < 0 \)
\[ 3 + m < 0 \]
\[ m < -3 \]

Do đó, điều kiện cần để hàm số \( y \) luôn giảm trên \( \mathbb{R} \) là \( m < -3 \).

Vậy, giá trị của \( m \) để hàm số \( y = -x^3 + (3+m)x^2 - (2m-1)x + 2 \) luôn giảm trên \( \mathbb{R} \) là \( \boxed{m < -3} \).