Tìm GTNN của N = x2 - 2xy + 2y2 - x
Quảng cáo
2 câu trả lời 459
Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( N = x^2 - 2xy + 2y^2 - x \), chúng ta có thể sử dụng các phương pháp toán học như đạo hàm hoặc biến đổi đại số để tìm điểm cực trị.
Trước hết, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm các điểm mà hàm số đạt cực trị.
1. **Tính đạo hàm riêng phần của \( N \) theo \( x \) và \( y \):**
\[ \frac{\partial N}{\partial x} = 2x - 2y - 1 \]
\[ \frac{\partial N}{\partial y} = -2x + 4y \]
2. **Tìm các điểm mà tại đó các đạo hàm riêng bằng 0:**
\[ 2x - 2y - 1 = 0 \]
\[ -2x + 4y = 0 \]
3. **Giải hệ phương trình để tìm \( x \) và \( y \):**
Từ phương trình thứ hai:
\[ -2x + 4y = 0 \]
\[ 4y = 2x \]
\[ y = \frac{x}{2} \]
Thay \( y = \frac{x}{2} \) vào phương trình thứ nhất:
\[ 2x - 2\left(\frac{x}{2}\right) - 1 = 0 \]
\[ 2x - x - 1 = 0 \]
\[ x - 1 = 0 \]
\[ x = 1 \]
Từ đó:
\[ y = \frac{1}{2} \]
Vậy điểm \( (x, y) = (1, \frac{1}{2}) \).
4. **Kiểm tra giá trị của \( N \) tại điểm này:**
\[ N = (1)^2 - 2(1)\left(\frac{1}{2}\right) + 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 1 \]
\[ N = 1 - 1 + 2\left(\frac{1}{4}\right) - 1 \]
\[ N = 1 - 1 + \frac{1}{2} - 1 \]
\[ N = -1 + \frac{1}{2} \]
\[ N = -\frac{1}{2} \]
Vậy giá trị nhỏ nhất của \( N = x^2 - 2xy + 2y^2 - x \) là \(-\frac{1}{2}\) tại điểm \( (x, y) = (1, \frac{1}{2}) \).
Đáp án
\[ \boxed{-\frac{1}{2}} \]
Giải thích các bước giải
\[ N = x^2 - 2xy + 2y^2 - x \]
\[ N = (x^2 - 2xy + y^2) + y^2 - x \]
\[ x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2 \]
\[ N = (x - y)^2 + y^2 - x \]
Đặt \( t = x - y \). Khi đó \( x = t + y \).
\[ N = t^2 + y^2 - (t + y) \]
\[ N = t^2 + y^2 - t - y \]
\[ \frac{\partial N}{\partial t} = 2t - 1 = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{2} \]
\[ \frac{\partial N}{\partial y} = 2y - 1 = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{2} \]
Thay \( t = \frac{1}{2} \) và \( y = \frac{1}{2} \) vào biểu thức:
\[ N = \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \]
\[ N = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - 1 \]
\[ N = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2} \]
Vậy giá trị nhỏ nhất của \( N \) là:
\[ \boxed{-\frac{1}{2}} \]
Quảng cáo
Bạn muốn hỏi bài tập?
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
107151
-
Hỏi từ APP VIETJACK67580
-
44957
-
38162
-
I miss you
4255 điểm
-
` ✧`
2735 điểm
-
Judy Hopps
1410 điểm
-
⋆˚࿔ neuemla... 𝜗𝜚˚
1360 điểm
-
bích hồng nguyễn 1080 điểm
-
iu vk vãi cak
735 điểm
-
`color{red}text{HuyTùng`
530 điểm
-
`\color{pink}\text{d.`
520 điểm
-
chê ng tốt chốt ng tồi.
460 điểm
-
(┬┬﹏┬┬) 𝙻𝚘𝚟𝚎𝚒𝚜𝚝𝚛𝚞𝚎💔
450 điểm
-
chao.ngdep
445 điểm
-
౨ৎ𝘉ắ𝘱ت𝘭𝘶ộ𝘤تđê⋅˚₊‧ ଳ⋆.࿔*:･🌽
415 điểm
-
Haruto[pad] 395 điểm
-
lạnh ôm jet (:
380 điểm
Rút gọn
Bài viết mới nhất Lớp 8
-
3 năm trước8199
-
3 năm trước7715
-
3 năm trước6553
-
3 năm trước6447
-
3 năm trước6270
