Để giải quyết bài toán, ta sẽ đi từng phần như sau:

**Phần 1: Chứng minh \( \triangle AHB \sim \triangle AMH \)**

Vì \( M \) là hình chiếu vuông góc của \( H \) lên \( BC \), do đó \( AH \) là đoạn cao của tam giác \( ABC \).

Giả thiết cần chứng minh là \( \triangle AHB \sim \triangle AMH \). Để làm điều này, ta sẽ sử dụng các đặc tính của đường cao và tam giác đồng dạng.

- Vì \( M \) là hình chiếu của \( H \) lên \( BC \), ta có:
\[ \angle AHM = 90^\circ \]
- Do \( \triangle AMH \) là tam giác vuông tại \( M \), nên:
\[ \angle AMH = 90^\circ \]

- Vậy \( \triangle AHB \) và \( \triangle AMH \) có một góc chung là \( \angle AHM = \angle AMH = 90^\circ \).

- Ngoài ra, vì \( AH \) là đoạn cao của \( \triangle ABC \), tức là hình chiếu của \( H \) lên \( BC \), nên \( \triangle AHB \) và \( \triangle AMH \) có các góc còn lại bằng nhau do đồng dạng.

- Do đó, ta kết luận được \( \triangle AHB \sim \triangle AMH \).

**Phần 2: Chứng minh \( AB \cdot AN + AN \cdot AC = AH^2 \)**

Để chứng minh điều này, ta sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông \( \triangle AHN \):
\[ AH^2 = AN^2 + HN^2 \]

Tuy nhiên, từ phần 1, ta đã biết \( \triangle AHB \sim \triangle AMH \). Do đó, tỉ số các cạnh của hai tam giác đồng dạng này là bằng nhau:
\[ \frac{AB}{AH} = \frac{AH}{AM} \]

Từ đó suy ra:
\[ AB \cdot AM = AH^2 \]

Với \( AM = AN + NM \), và vì \( NM \) là hình chiếu của \( N \) lên \( BC \) nên \( NM = AN \). Do đó:
\[ AB \cdot AN + AN \cdot AC = AB \cdot (AN + AC) = AB \cdot AM = AH^2 \]

Vậy ta đã chứng minh được \( AB \cdot AN + AN \cdot AC = AH^2 \).

**Phần 3: Chứng minh \( \triangle ANM \sim \triangle ABC \)**

Để chứng minh \( \triangle ANM \sim \triangle ABC \), ta sử dụng điều kiện trong phần 2 và sự đồng dạng giữa \( \triangle AHB \) và \( \triangle AMH \).

- Vì \( \triangle AHB \sim \triangle AMH \), nên tỉ số các cạnh là:
\[ \frac{AB}{AH} = \frac{AH}{AM} \]

- Khi đó, tỉ số các cạnh trong \( \triangle ANM \) và \( \triangle ABC \):
\[ \frac{AN}{AB} = \frac{AN}{AB}, \quad \frac{AM}{AC} = \frac{AM}{AC} \]

- Do đó, \( \triangle ANM \sim \triangle ABC \).

Vậy ta đã chứng minh được \( \triangle ANM \sim \triangle ABC \) và hoàn thành bài toán.