Để hàm số \(y = f(x^4 - 8x^2 + m)\) có đúng 9 điểm cực trị, trước hết chúng ta cần xét hàm số \(g(t) = f(t)\) với \(t = x^4 - 8x^2 + m\). Điểm cực trị của hàm số \(y\) là các giá trị \(x\) sao cho đạo hàm của hàm số bằng 0.

Ta có \(y = f(u)\) với \(u = x^4 - 8x^2 + m\). Đạo hàm của hàm số theo \(x\) là:

\[
\frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot \frac{du}{dx}
\]

Với:

\[
u = x^4 - 8x^2 + m
\]

Ta tính đạo hàm của \(u\) theo \(x\):

\[
\frac{du}{dx} = 4x^3 - 16x
\]

Do đó:

\[
\frac{dy}{dx} = f'(u) \cdot (4x^3 - 16x)
\]

Để \(y\) có điểm cực trị, ta cần:

\[
\frac{dy}{dx} = 0
\]

Điều này xảy ra khi:

\[
f'(u) = 0 \quad \text{hoặc} \quad 4x^3 - 16x = 0
\]

Xét \(4x^3 - 16x = 0\):

\[
4x(x^2 - 4) = 0
\]

\[
4x(x - 2)(x + 2) = 0
\]

Vậy, \(x = 0\), \(x = 2\), hoặc \(x = -2\).

Các giá trị của \(u\) tại \(x = 0\), \(x = 2\), và \(x = -2\) là:

- Khi \(x = 0\):
\[
u = 0^4 - 8 \cdot 0^2 + m = m
\]

- Khi \(x = 2\):
\[
u = 2^4 - 8 \cdot 2^2 + m = 16 - 32 + m = -16 + m
\]

- Khi \(x = -2\):
\[
u = (-2)^4 - 8 \cdot (-2)^2 + m = 16 - 32 + m = -16 + m
\]

Như vậy, \(u\) có thể nhận các giá trị \(m\), \(-16 + m\), và \(-16 + m\). Để \(y = f(x^4 - 8x^2 + m)\) có đúng 9 điểm cực trị, \(f'(u)\) phải bằng 0 tại 9 giá trị khác nhau của \(u\). Điều này có nghĩa là \(u\) phải nhận 9 giá trị khác nhau.

Trong đó:
- \(u = m\) chỉ có một giá trị.
- \(u = -16 + m\) chỉ có một giá trị.

Để các giá trị này khác nhau và \(u\) nhận được 9 giá trị khác nhau, cần phải thêm 7 giá trị khác từ \(m\) hoặc \(-16 + m\). Tuy nhiên, chỉ cần điều kiện để \(u\) có các giá trị khác nhau, không yêu cầu cụ thể về các giá trị này.

Do đó, để hàm số \(y = f(x^4 - 8x^2 + m)\) có đúng 9 điểm cực trị, giá trị của \(m\) phải thoả mãn điều kiện duy nhất là \(f'(u)\) phải có 9 nghiệm phân biệt khác nhau tương ứng với 9 giá trị \(u\). Điều này là số giá trị \(m\) nguyên không xác định chính xác từ bài toán đã cho.

Giải bài toán:
Bước 1: Đặt u(x) = x^4 - 8x^2 + m

Ta có:

u'(x) = 4x(x^2 - 4)
u''(x) = 12x(x - 2)
Bước 2: Phân tích g(x) = f(u(x))

g'(x) = f'(u(x)) * u'(x) = (u^2(x) + 16u(x)) * 4x(x - 2)
g''(x) = [2u(x)u'(x) + 16u'(x)] * 4x(x - 2) + (u^2(x) + 16u(x)) * 4(x^2 - 4)
Bước 3: Tìm điều kiện để g(x) có 9 điểm cực trị

Để g(x) có 9 điểm cực trị, phương trình g'(x) = 0 cần có 5 nghiệm phân biệt (bao gồm 1 nghiệm kép), và phương trình g''(x) = 0 có 4 nghiệm phân biệt.

Bước 4: Giải phương trình g'(x) = 0

u^2(x) + 16u(x) = 0
⇔ u(x)(u(x) + 16) = 0
⇔ u(x) = 0 hoặc u(x) = -16
Phân tích 2 trường hợp:

TH1: u(x) = 0

x^4 - 8x^2 + m = 0
⇔ (x^2 - 4)(x^2 - 2m) = 0
⇔ x^2 = 4 hoặc x^2 = 2m
Trường hợp này cần thêm điều kiện để phương trình g'(x) = 0 có 5 nghiệm phân biệt, tuy nhiên thông tin đề bài chưa đủ để giải quyết.

TH2: u(x) = -16

x^4 - 8x^2 + m = -16
⇔ (x^2 - 4)(x^2 - m + 4) = 0
⇔ x^2 = 4 hoặc x^2 = m - 4
Lúc này, ta cần xét các trường hợp con:

TH2.1: m - 4 > 0

x^2 = m - 4
⇔ x = ±√(m - 4)
Để phương trình g'(x) = 0 có 5 nghiệm phân biệt, điều kiện cần là m > 8.

TH2.2: m - 4 ≤ 0

x^2 = 4
⇔ x = ±2
Phương trình g'(x) = 0 có 3 nghiệm x = ±2 và 1 nghiệm kép x = 0.

Do đó, không có giá trị nào của m thỏa mãn trong trường hợp này.

Bước 5: Giải phương trình g''(x) = 0

2u(x)u'(x) + 16u'(x) = 0 hoặc u^2(x) + 16u(x) = 0
Thay u(x) = 0 và u(x) = -16 vào 2 phương trình trên, ta giải được các nghiệm x = 0, ±2, ±√2
Bước 6: Kết hợp kết quả

Để g(x) có 9 điểm cực trị, cần thỏa mãn cả 2 điều kiện:

Phương trình g'(x) = 0 có 5 nghiệm phân biệt.
Phương trình g''(x) = 0 có 4 nghiệm phân biệt.
Dựa vào phân tích trên, ta thấy chỉ có trường hợp TH2.1 (m > 8) thỏa mãn cả 2 điều kiện.

Kết luận:

Có vô số giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = f(x^4 - 8x^2 + m) có đúng 9 điểm cực trị, miễn là m > 8.