Để tìm giá trị của biểu thức \( P = a^{22} + b^{23} + c^{24} \) với các điều kiện \( a, b, c \neq 0 \) và \( a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca = 3 \), trước hết ta sẽ tìm mối liên hệ giữa \( a, b, c \) và các giá trị đặc biệt của chúng.

Ta có hệ phương trình:
\[
a^2 + b^2 + c^2 = 3 \quad (1)
\]
\[
ab + bc + ca = 3 \quad (2)
\]

Ta xét phương trình \( a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca \):
\[
a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0
\]

Ta biết rằng:
\[
a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = \frac{1}{2} \left( (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \right)
\]

Vậy:
\[
\frac{1}{2} \left( (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \right) = 0
\]

Suy ra:
\[
(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0
\]

Vì tổng của các bình phương này bằng 0, nên từng bình phương phải bằng 0:
\[
(a-b)^2 = 0 \Rightarrow a = b
\]
\[
(b-c)^2 = 0 \Rightarrow b = c
\]
\[
(c-a)^2 = 0 \Rightarrow c = a
\]

Do đó, ta có:
\[
a = b = c
\]

Thay vào phương trình \( a^2 + b^2 + c^2 = 3 \), ta có:
\[
3a^2 = 3 \Rightarrow a^2 = 1 \Rightarrow a = 1 \text{ hoặc } a = -1
\]

Do \( a = b = c \), ta có các trường hợp:
- \( a = b = c = 1 \)
- \( a = b = c = -1 \)

Ta cần tính giá trị của \( P = a^{22} + b^{23} + c^{24} \):

**Trường hợp 1: \( a = b = c = 1 \)**

\[
P = 1^{22} + 1^{23} + 1^{24} = 1 + 1 + 1 = 3
\]

**Trường hợp 2: \( a = b = c = -1 \)**

\[
P = (-1)^{22} + (-1)^{23} + (-1)^{24} = 1 - 1 + 1 = 1
\]

Do đó, giá trị của biểu thức \( P \) phụ thuộc vào giá trị của \( a, b, c \). Tuy nhiên, cả hai trường hợp đều thỏa mãn điều kiện \( a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca = 3 \). Vậy \( P \) có thể là 3 hoặc 1.

Tuy nhiên, thường khi đề bài có hai giá trị mà vẫn thoả mãn điều kiện, ta cần kiểm tra kỹ lại giá trị và bối cảnh thực tế của bài toán. Với giả định tính đều cả hai trường hợp, đáp án cuối cùng là:
\[ P = 3 \text{ hoặc } P = 1 \]