Để xét tính đơn điệu của hàm số \( y = \frac{x^2 - 3x + 2}{2x^2 + x - 1} \), chúng ta cần tìm đạo hàm của hàm số này và xét dấu của đạo hàm đó trên từng khoảng.

Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \( y = \frac{f(x)}{g(x)} \) sử dụng quy tắc đạo hàm của phân số:

\[
y' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}
\]

Trong đó:
\[
f(x) = x^2 - 3x + 2 \quad \text{và} \quad g(x) = 2x^2 + x - 1
\]

Ta tính đạo hàm \( f'(x) \) và \( g'(x) \):

\[
f'(x) = 2x - 3
\]
\[
g'(x) = 4x + 1
\]

Áp dụng công thức đạo hàm của phân số:

\[
y' = \frac{(2x - 3)(2x^2 + x - 1) - (x^2 - 3x + 2)(4x + 1)}{(2x^2 + x - 1)^2}
\]

Bước 2: Rút gọn biểu thức của tử số:

\[
(2x - 3)(2x^2 + x - 1) - (x^2 - 3x + 2)(4x + 1)
\]

Chúng ta phân tích từng phần tử của biểu thức:

\[
(2x - 3)(2x^2 + x - 1) = 4x^3 + 2x^2 - 2x - 6x^2 - 3x + 3 = 4x^3 - 4x^2 - 5x + 3
\]

\[
(x^2 - 3x + 2)(4x + 1) = 4x^3 + x^2 - 12x^2 - 3x + 8x + 2 = 4x^3 - 11x^2 + 5x + 2
\]

Bây giờ ta trừ hai biểu thức này:

\[
4x^3 - 4x^2 - 5x + 3 - (4x^3 - 11x^2 + 5x + 2) = 4x^3 - 4x^2 - 5x + 3 - 4x^3 + 11x^2 - 5x - 2 = 7x^2 - 10x + 1
\]

Do đó, đạo hàm của hàm số là:

\[
y' = \frac{7x^2 - 10x + 1}{(2x^2 + x - 1)^2}
\]

Bước 3: Xét dấu của đạo hàm để xác định tính đơn điệu:

\[
7x^2 - 10x + 1 = 0
\]

Chúng ta có phương trình bậc hai:

\[
7x^2 - 10x + 1 = 0
\]

Giải phương trình này bằng cách sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \quad \text{với} \quad a = 7, \, b = -10, \, c = 1
\]

\[
x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 28}}{14} = \frac{10 \pm \sqrt{72}}{14} = \frac{10 \pm 6\sqrt{2}}{14} = \frac{5 \pm 3\sqrt{2}}{7}
\]

Bước 4: Xét dấu của \( y' \) trên các khoảng được chia bởi các nghiệm này.

Những nghiệm này chia trục số thành ba khoảng: \( (-\infty, \frac{5 - 3\sqrt{2}}{7}) \), \( (\frac{5 - 3\sqrt{2}}{7}, \frac{5 + 3\sqrt{2}}{7}) \), và \( (\frac{5 + 3\sqrt{2}}{7}, \infty) \).

Ta cần xét dấu của \( 7x^2 - 10x + 1 \) trên từng khoảng này.

Từ đó, ta có thể kết luận về tính đơn điệu của hàm số trên từng khoảng.

- Khi \( 7x^2 - 10x + 1 > 0 \): Hàm số đồng biến.
- Khi \( 7x^2 - 10x + 1 < 0 \): Hàm số nghịch biến.