Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành rút gọn phân thức và sau đó tính giá trị của nó tại \( x = -12 \) và \( y = 99 \).

**Bước 1: Rút gọn phân thức \( P \)**

Phân thức ban đầu là:
\[ P = \frac{x^3 - x}{(1 + xy)^2 - (x + y)^2} \]

Trước hết, ta sẽ xem xét biểu thức ở mẫu số:
\[ (1 + xy)^2 - (x + y)^2 \]

Sử dụng hằng đẳng thức \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \), với \( a = 1 + xy \) và \( b = x + y \), ta có:
\[ (1 + xy)^2 - (x + y)^2 = [(1 + xy) - (x + y)][(1 + xy) + (x + y)] \]

Tính toán các biểu thức con:
\[ (1 + xy) - (x + y) = 1 + xy - x - y \]
\[ (1 + xy) + (x + y) = 1 + xy + x + y \]

Do đó:
\[ (1 + xy)^2 - (x + y)^2 = (1 + xy - x - y)(1 + xy + x + y) \]

Bây giờ ta xét lại phân thức:
\[ P = \frac{x^3 - x}{(1 + xy - x - y)(1 + xy + x + y)} \]

Nhận thấy rằng mẫu số không đơn giản hơn được nữa, ta giữ nguyên phân thức dưới dạng này. Tuy nhiên, ta sẽ tiếp tục các bước để tính giá trị của \( P \) tại \( x = -12 \) và \( y = 99 \).

**Bước 2: Tính giá trị của \( P \) tại \( x = -12 \) và \( y = 99 \)**

Thay \( x = -12 \) và \( y = 99 \) vào phân thức, ta có:
\[ P = \frac{(-12)^3 - (-12)}{(1 + (-12) \cdot 99 - (-12) - 99)(1 + (-12) \cdot 99 + (-12) + 99)} \]

Tính toán tử số:
\[ (-12)^3 = -1728 \]
\[ -(-12) = 12 \]
\[ x^3 - x = -1728 + 12 = -1716 \]

Tính toán mẫu số:
\[ 1 + (-12) \cdot 99 = 1 - 1188 = -1187 \]
\[ -1187 - (-12) - 99 = -1187 + 12 - 99 = -1274 \]
\[ -1187 + (-12) + 99 = -1187 - 12 + 99 = -1100 \]

Do đó, mẫu số là:
\[ (-1187 - 1274)(-1187 - 1100) = (-1274)(-1100) = 1401400 \]

Như vậy, giá trị của \( P \) là:
\[ P = \frac{-1716}{1401400} = -\frac{1716}{1401400} = -\frac{429}{350350} = -\frac{1}{818} \]

Vậy, giá trị của \( P \) tại \( x = -12 \) và \( y = 99 \) là:
\[ P = -\frac{1}{818} \]

Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành rút gọn phân thức và sau đó tính giá trị của nó tại x=−12𝑥=−12 và y=99𝑦=99.

**Bước 1: Rút gọn phân thức P𝑃**

Phân thức ban đầu là:
P=x3−x(1+xy)2−(x+y)2𝑃=𝑥3−𝑥(1+𝑥𝑦)2−(𝑥+𝑦)2

Trước hết, ta sẽ xem xét biểu thức ở mẫu số:
(1+xy)2−(x+y)2(1+𝑥𝑦)2−(𝑥+𝑦)2

Sử dụng hằng đẳng thức a2−b2=(a−b)(a+b)𝑎2−𝑏2=(𝑎−𝑏)(𝑎+𝑏), với a=1+xy𝑎=1+𝑥𝑦 và b=x+y𝑏=𝑥+𝑦, ta có:
(1+xy)2−(x+y)2=[(1+xy)−(x+y)][(1+xy)+(x+y)](1+𝑥𝑦)2−(𝑥+𝑦)2=[(1+𝑥𝑦)−(𝑥+𝑦)][(1+𝑥𝑦)+(𝑥+𝑦)]

Tính toán các biểu thức con:
(1+xy)−(x+y)=1+xy−x−y(1+𝑥𝑦)−(𝑥+𝑦)=1+𝑥𝑦−𝑥−𝑦
(1+xy)+(x+y)=1+xy+x+y(1+𝑥𝑦)+(𝑥+𝑦)=1+𝑥𝑦+𝑥+𝑦

Do đó:
(1+xy)2−(x+y)2=(1+xy−x−y)(1+xy+x+y)(1+𝑥𝑦)2−(𝑥+𝑦)2=(1+𝑥𝑦−𝑥−𝑦)(1+𝑥𝑦+𝑥+𝑦)

Bây giờ ta xét lại phân thức:
P=x3−x(1+xy−x−y)(1+xy+x+y)𝑃=𝑥3−𝑥(1+𝑥𝑦−𝑥−𝑦)(1+𝑥𝑦+𝑥+𝑦)

Nhận thấy rằng mẫu số không đơn giản hơn được nữa, ta giữ nguyên phân thức dưới dạng này. Tuy nhiên, ta sẽ tiếp tục các bước để tính giá trị của P𝑃 tại x=−12𝑥=−12 và y=99𝑦=99.

**Bước 2: Tính giá trị của P𝑃 tại x=−12𝑥=−12 và y=99𝑦=99**

Thay x=−12𝑥=−12 và y=99𝑦=99 vào phân thức, ta có:
P=(−12)3−(−12)(1+(−12)⋅99−(−12)−99)(1+(−12)⋅99+(−12)+99)𝑃=(−12)3−(−12)(1+(−12)⋅99−(−12)−99)(1+(−12)⋅99+(−12)+99)

Tính toán tử số:
(−12)3=−1728(−12)3=−1728
−(−12)=12−(−12)=12
x3−x=−1728+12=−1716𝑥3−𝑥=−1728+12=−1716

Tính toán mẫu số:
1+(−12)⋅99=1−1188=−11871+(−12)⋅99=1−1188=−1187
−1187−(−12)−99=−1187+12−99=−1274−1187−(−12)−99=−1187+12−99=−1274
−1187+(−12)+99=−1187−12+99=−1100−1187+(−12)+99=−1187−12+99=−1100

Do đó, mẫu số là:
(−1187−1274)(−1187−1100)=(−1274)(−1100)=1401400(−1187−1274)(−1187−1100)=(−1274)(−1100)=1401400

Như vậy, giá trị của P𝑃 là:
P=−17161401400=−17161401400=−429350350=−1818𝑃=−17161401400=−17161401400=−429350350=−1818

Vậy, giá trị của P𝑃 tại x=−12𝑥=−12 và y=99𝑦=99 là:
P=−1818𝑃=−1818