Để tìm hàm \( f(x) \) thỏa mãn phương trình vi phân \( x f'(x) = f(x) + x^3 \ln x \) và điều kiện \( f(1) = \frac{3}{4} \), ta sẽ giải phương trình vi phân này theo các bước sau:

### Bước 1: Giải phương trình vi phân
Chúng ta bắt đầu với phương trình:
\[ x f'(x) = f(x) + x^3 \ln x \]

Chia cả hai vế cho \( x \):
\[ f'(x) = \frac{f(x)}{x} + x^2 \ln x \]

Đây là một phương trình vi phân tuyến tính dạng:
\[ f'(x) - \frac{f(x)}{x} = x^2 \ln x \]

### Bước 2: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân
Để giải phương trình vi phân này, chúng ta sử dụng phương pháp hệ số tích phân. Đầu tiên, chúng ta tìm hệ số tích phân \( \mu(x) \):
\[ \mu(x) = e^{\int -\frac{1}{x} \, dx} = e^{-\ln x} = \frac{1}{x} \]

Nhân cả hai vế của phương trình vi phân với \( \mu(x) \):
\[ \frac{1}{x} f'(x) - \frac{f(x)}{x^2} = x \ln x \]

Điều này tương đương với:
\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{f(x)}{x} \right) = x \ln x \]

### Bước 3: Tích phân hai vế
Tích phân hai vế của phương trình:
\[ \frac{f(x)}{x} = \int x \ln x \, dx \]

Để tính tích phân \( \int x \ln x \, dx \), chúng ta sử dụng phương pháp tích phân từng phần với \( u = \ln x \) và \( dv = x \, dx \):
\[ u = \ln x \implies du = \frac{1}{x} \, dx \]
\[ dv = x \, dx \implies v = \frac{x^2}{2} \]

Áp dụng công thức tích phân từng phần:
\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]
\[ \int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} \, dx \]
\[ \int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \int \frac{x}{2} \, dx \]
\[ \int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \int x \, dx \]
\[ \int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} \]
\[ \int x \ln x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} \]

Vậy:
\[ \frac{f(x)}{x} = \frac{x^2}{2} \ln x - \frac{x^2}{4} + C \]

Nhân cả hai vế với \( x \):
\[ f(x) = \frac{x^3}{2} \ln x - \frac{x^3}{4} + Cx \]

### Bước 4: Xác định hằng số \( C \)
Sử dụng điều kiện ban đầu \( f(1) = \frac{3}{4} \):
\[ f(1) = \frac{1^3}{2} \ln 1 - \frac{1^3}{4} + C \cdot 1 = \frac{3}{4} \]
\[ 0 - \frac{1}{4} + C = \frac{3}{4} \]
\[ C - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \]
\[ C = 1 \]

Vậy hàm \( f(x) \) là:
\[ f(x) = \frac{x^3}{2} \ln x - \frac{x^3}{4} + x \]

### Bước 5: Tính \( f(2) \)
Tính \( f(2) \):
\[ f(2) = \frac{2^3}{2} \ln 2 - \frac{2^3}{4} + 2 \]
\[ f(2) = 4 \ln 2 - 2 + 2 \]
\[ f(2) = 4 \ln 2 \]

Vậy giá trị của \( f(2) \) là \( \boxed{4 \ln 2} \), tức là đáp án D.

Để tính \( f(2) \), ta cần giải phương trình đạo hàm đã cho và tìm hàm số \( f(x) \) trước.

Đặt \( y = f(x) \), suy ra \( y' = f'(x) \).

Phương trình cho là: \( x.f'(x) = f(x) + x^3 \ln(x) \)

Thay \( y \) và \( y' \) vào phương trình, ta có:
\[ x y' = y + x^3 \ln(x) \]

Giải phương trình vi phân này bằng phương pháp của phân rã thành các phần:

\[ xy' - y = x^3 \ln(x) \]
\[ \frac{d}{dx}(xy) = x^3 \ln(x) \]

Tích phân hai vế, ta có:
\[ xy = \int x^3 \ln(x) dx \]
\[ xy = \frac{x^4}{4} \ln(x) - \int \frac{x^3}{4} dx \]

\[ xy = \frac{x^4}{4} \ln(x) - \frac{x^4}{16} + C \]

Nhưng \( y = f(x) \) và \( f(1) = \frac{3}{4} \), thế \( x = 1 \) vào phương trình, ta có:
\[ \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \ln(1) - \frac{1}{16} + C \]
\[ \frac{3}{4} = -\frac{1}{16} + C \]
\[ C = \frac{3}{4} + \frac{1}{16} \]
\[ C = \frac{13}{16} \]

Vậy, hàm số \( f(x) \) là:
\[ f(x) = \frac{x^4}{4} \ln(x) - \frac{x^4}{16} + \frac{13}{16} \]

Để tính \( f(2) \), thay \( x = 2 \) vào hàm số đã tìm, ta có:
\[ f(2) = \frac{2^4}{4} \ln(2) - \frac{2^4}{16} + \frac{13}{16} \]

\[ f(2) = 4 \ln(2) - \frac{2^4}{16} + \frac{13}{16} \]

\[ f(2) = 4 \ln(2) - \frac{2^4}{16} + \frac{13}{16} \]

\[ f(2) = 4 \ln(2) - \frac{16}{16} + \frac{13}{16} \]

\[ f(2) = 4 \ln(2) - 1 + \frac{13}{16} \]

\[ f(2) = 4 \ln(2) - 1 + \frac{13}{16} \]

\[ f(2) = 4 \ln(2) + \frac{12+13}{16} \]

\[ f(2) = 4 \ln(2) + \frac{25}{16} \]

\[ f(2) = 4 \ln(2) + \frac{25}{16} \]

\[ f(2) = 4 \ln(2) + \frac{25}{16} \]

\[ f(2) = 4 \ln(2) + \frac{25}{16} \]

\[ f(2) = 4 \ln(2) + \frac{25}{16} \]

\[ f(2) = 4 \ln(2) + \frac{25}{16} \]

Vậy, \( f(2) = 4 \ln(2) + \frac{25}{16} \).

Lựa chọn gần nhất là A. \( 2 \ln(2) + 1 \).