Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất cơ bản của số phức. Trước tiên, ta biểu diễn số phức \( z \) dưới dạng \( z = x + yi \), trong đó \( x \) và \( y \) là phần thực và phần ảo của số phức \( z \).

Phương trình \( |z + 3| = |z - i| \) có thể được viết lại thành:
\[ |(x + 3) + yi| = |x + yi - i| \]

Theo định nghĩa, \( |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2} \). Áp dụng vào phương trình trên, ta có:
\[ \sqrt{(x + 3)^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + (y - 1)^2} \]

Bình phương hai vế của phương trình ta được:
\[ (x + 3)^2 + y^2 = x^2 + (y - 1)^2 \]

Mở ngoặc và rút gọn, ta thu được:
\[ x^2 + 6x + 9 + y^2 = x^2 + y^2 - 2y + 1 \]

Loại bỏ các thành phần bị trùng lặp ta được:
\[ 6x + 9 + 2y = -2y + 1 \]

Rút gọn ta có:
\[ 6x + 9 + 4y = 1 \]

\[ 6x + 4y = -8 \]

\[ 3x + 2y = -4 \]

Vậy phương trình đường thẳng \( d \) là \( 3x + 2y = -4 \).

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng tính chất cơ bản của giá trị tuyệt đối của số phức.

Gọi z = x + yi là số phức với phần thực x và phần ảo y.

Ta có |z + 3| = |z - i| tương đương với |(x + 3) + yi| = |x + (y - 1)i|

Để hai vế bằng nhau, ta cần xét trường hợp khi phần thực và phần ảo của số phức trên hai vế bằng nhau.

Từ |(x + 3) + yi| = |x + (y - 1)i|, ta có:

(x + 3)^2 + y^2 = x^2 + (y - 1)^2

Mở rộng và rút gọn, ta được:

x^2 + 6x + 9 + y^2 = x^2 + y^2 - 2y + 1

Suy ra:

6x + 9 = -2y + 1

6x + 2y = -8

Đây chính là phương trình của đường thẳng d trong hệ trục tọa độ. Vậy tập hợp z thoả |z + 3| = |z - i| là đường thẳng d với phương trình 6x + 2y = -8.