1. **Diện tích xung quanh của hình nón (S_xq)**:
\[
S_xq = \pi r l
\]
trong đó \( r \) là bán kính đáy và \( l \) là độ dài đường sinh của hình nón.

2. **Diện tích xung quanh đã cho**:
\[
S_xq = 3\pi a^2
\]

3. **Bán kính đáy (r)**:
\[
r = a
\]

Từ công thức diện tích xung quanh, ta có:
\[
\pi r l = 3\pi a^2
\]

Thay \( r = a \) vào:
\[
\pi a l = 3\pi a^2
\]

Chia cả hai vế cho \( \pi a \):
\[
l = 3a
\]

4. **Chiều cao của hình nón (h)**:
Ta có thể sử dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông tạo bởi chiều cao, bán kính đáy và đường sinh của hình nón:
\[
l^2 = r^2 + h^2
\]

Thay \( l = 3a \) và \( r = a \):
\[
(3a)^2 = a^2 + h^2
\]
\[
9a^2 = a^2 + h^2
\]
\[
h^2 = 9a^2 - a^2
\]
\[
h^2 = 8a^2
\]
\[
h = \sqrt{8a^2}
\]
\[
h = 2\sqrt{2}a
\]

Vậy chiều cao của hình nón là \( h = 2\sqrt{2}a \).

Tóm lại, với diện tích xung quanh \( 3\pi a^2 \) và bán kính đáy \( a \), ta có:
- Độ dài đường sinh của hình nón: \( l = 3a \)
- Chiều cao của hình nón: \( h = 2\sqrt{2}a \)