Để tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình \( \log x \left(\log_2 (4^x - 6)\right) \leq 1 \), ta cần phân tích từng phần của bất phương trình.

Trước hết, bất phương trình có nghĩa khi các giá trị trong các logarit đều xác định. Để \(\log x (\cdot)\) xác định, \(x\) phải dương (\(x > 0\)) và để \(\log_2(4^x - 6)\) xác định, \(4^x - 6\) phải dương (\(4^x - 6 > 0\)), nghĩa là \(4^x > 6\), hay \(x > \log_4 6\).

**Bước 1: Điều kiện xác định của bất phương trình**

1. \( x > 0 \)
2. \( 4^x > 6 \)

Xét điều kiện \(4^x > 6\):

\[
4^x > 6 \implies x > \log_4 6
\]

Chuyển đổi cơ số để tính \(\log_4 6\):

\[
\log_4 6 = \frac{\log 6}{\log 4} = \frac{\log 6}{2 \log 2}
\]

Gọi giá trị này là \(a\). Từ đó, ta có:

\[
x > a \quad \text{với} \quad a = \frac{\log 6}{2 \log 2}
\]

**Bước 2: Phân tích bất phương trình chính**

Ta biết rằng:

\[
\log x \left(\log_2 (4^x - 6)\right) \leq 1
\]

Đặt \( y = \log_2 (4^x - 6) \). Khi đó, bất phương trình trở thành:

\[
\log x (y) \leq 1
\]

Nghĩa là:

\[
\log x \leq \frac{1}{y}
\]

Ta có:

\[
y = \log_2 (4^x - 6) \implies 2^y = 4^x - 6 \implies 4^x = 2^y + 6
\]

Thay \( y \) vào, ta xét:

\[
\log x \leq \frac{1}{y} = \frac{1}{\log_2 (4^x - 6)}
\]

Xét các giá trị của \( y \):

**Bước 3: Tìm nghiệm nguyên \( x \)**

Để tìm các nghiệm nguyên, xét giá trị của \( x \) thoả mãn điều kiện:

1. \( x > \log_4 6 \approx 1.292 \)

Vậy \( x \) phải là các số nguyên lớn hơn 1.292, tức là \( x \geq 2 \).

2. Với \( x = 2 \):
\[
\log_2(4^2 - 6) = \log_2(16 - 6) = \log_2(10)
\]
\[
\log_2(10) \approx 3.3219
\]
\[
\log 2 \log_2(10) \approx 1 \times 3.3219 = 3.3219
\]
\[
\log x (3.3219) \leq 1 \implies x \log (3.3219) \leq 1
\]

Kết quả là các nghiệm thoả mãn điều kiện là các số nguyên \( x \geq 2 \).

**Bước 4: Kiểm tra các nghiệm tiếp theo \( x = 3, 4, 5, ... \)**

Với mỗi giá trị tiếp theo của \( x \), xét liệu bất phương trình có còn thỏa mãn:

- \( x = 3 \)
- \( x = 4 \)
- ...

Cuối cùng, kiểm tra các giá trị nguyên cho \( x \) và tính \( \log x (\log_2 (4^x - 6)) \).

Tóm lại, các nghiệm nguyên \( x \) là từ \( x = 2 \) trở lên cho tới khi bất phương trình không thoả mãn.

Kết luận: **Số nghiệm nguyên của bất phương trình là tất cả các số nguyên \( x \geq 2 \)**, hay \( x = 2, 3, 4, ... \).