cho số thực x, y, z thỏa mãn x2 - yz = y2 - zx = z2 - xy = 1012. Tính A= x2+ y2+ z2

cho số thực x, y, z thỏa mãn x2 - yz = y2 - zx = z2

Hậu Hà Hỏi từ APP VIETJACK

đã hỏi trong Lớp 8 Toán học

· 22:28 27/05/2024

cho số thực x, y, z thỏa mãn x²- yz = y²- zx = z²- xy = 1012. Tính A= x²+ y²+ z²

Trả Lời

Hỏi chi tiết

Trả lời trong APP VIETJACK

Quảng cáo

2 câu trả lời 1269

Phạm Thị Huyền

1 năm trước

Đặt $A = x^2 + y^2 + z^2$ .

Từ các phương trình đã cho, ta có:

$x^2 - yz = y^2 - zx = z^2 - xy = 1012$

Thêm $2xyz$ vào cả hai vế của mỗi phương trình, ta thu được:

$x^2 + 2xyz - yz = y^2 + 2xyz - zx = z^2 + 2xyz - xy = 1012 + 2xyz$

Xem xét biểu thức $(x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 + 2xyz)$ :

$(x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 + 2xyz) = x^3 + y^3 + z^3 + 3xyz + (x^2y + xy^2 + x^2z + xz^2 + y^2z + yz^2)$

Từ phương trình đã cho, ta thấy rằng:

$x^3 + y^3 + z^3 + 3xyz = 1012(x + y + z)$

$x^2y + xy^2 + x^2z + xz^2 + y^2z + yz^2 = (x^2 + y^2 + z^2)(x + y + z)$

Vậy:

$(x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 + 2xyz) = 1012(x + y + z) + (x^2 + y^2 + z^2)(x + y + z)$

$(x^2 + y^2 + z^2 + 2xyz) = 1012 + (x^2 + y^2 + z^2)$

Từ đó suy ra:

$x^2 + y^2 + z^2 + 2xyz = 1012 + A$

$A = 1012 + A$

$A = 1012$

Vậy, $A = 1012$ .

(+1) 0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

Sang Phạm

1 năm trước

Để tính $A = x^2 + y^2 + z^2$ , ta có thể sử dụng phương pháp giải hệ phương trình đối xứng. Trong trường hợp này, ta có thể giải hệ phương trình:

$\begin{cases} x^2 - yz = 1012 \\ y^2 - zx = 1012 \\ z^2 - xy = 1012 \end{cases}$

Từ các phương trình trên, ta có thể suy ra:

$x^2 - yz = y^2 - zx \Rightarrow x^2 - y^2 = z(x - y) \\ y^2 - zx = z^2 - xy \Rightarrow y^2 - z^2 = x(y - z) \\ z^2 - xy = x^2 - yz \Rightarrow z^2 - x^2 = y(z - x)$

Do đó:

$(x - y)(x + y) = z(x - y) \Rightarrow x + y = z \\ (y - z)(y + z) = x(y - z) \Rightarrow y + z = x \\ (z - x)(z + x) = y(z - x) \Rightarrow z + x = y$

Từ $x + y = z$ , $y + z = x$ , và $z + x = y$ , ta có thể suy ra $x = y = z$ . Thay giá trị này vào một trong các phương trình ban đầu để tính $A$ :

$\begin{align*} x^2 - x^2 &= 1012 \\ 0 &= 1012 \end{align*}$

Điều này là không khả thi. Vậy không có giải pháp thỏa mãn.

(+1) 0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

Quảng cáo

2 câu trả lời 1269

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 8