Để tính phần ảo của số phức \(z\) mũ \(-2\), ta sẽ sử dụng công thức De Moivre. Công thức này cho phép tính luỹ thừa của một số phức dưới dạng góc phức.

Công thức De Moivre:

\[z^n = |z|^n \cdot (\cos(n\theta) + i \sin(n\theta))\]

Trong đó:
- \(z = a + bi\) là số phức.
- \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\) là độ lớn (hoặc module) của \(z\).
- \(\theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)\) là góc phức của \(z\).
- \(n\) là số mũ.

Trong trường hợp này, \(z = 3 + 8i\), vậy \(a = 3\), \(b = 8\). Ta có:

\[|z| = \sqrt{3^2 + 8^2} = \sqrt{9 + 64} = \sqrt{73}\]

\[\theta = \arctan\left(\frac{8}{3}\right)\]

Giờ ta có thể tính toán \(z^2\) theo công thức De Moivre:

\[z^{-2} = \frac{1}{z^2} = \frac{1}{{|z|^2}} \cdot (\cos(-2\theta) + i \sin(-2\theta))\]

\[= \frac{1}{73} \cdot (\cos(-2\theta) + i \sin(-2\theta))\]

Giá trị của \(\cos(-2\theta)\) và \(\sin(-2\theta)\) có thể được xác định bằng cách sử dụng tính chất của hàm số lẻ và chẵn, hoặc dùng các công thức biến đổi góc:

\[\cos(-2\theta) = \cos(2\theta) \]
\[= \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta) \]
\[= \left(\frac{3}{\sqrt{73}}\right)^2 - \left(\frac{8}{\sqrt{73}}\right)^2 \]

\[\sin(-2\theta) = -\sin(2\theta) \]
\[= -2\sin(\theta)\cos(\theta) \]
\[= -2 \cdot \frac{8}{\sqrt{73}} \cdot \frac{3}{\sqrt{73}} \]

Tính toán giá trị này sẽ cho phần ảo của \(z^{-2}\).