Để tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình chóp tứ giác đều, chúng ta cần sử dụng thông tin về diện tích đáy và chiều cao của hình chóp.

1. **Diện tích xung quanh (Sxq)**:
- Diện tích xung quanh của một hình chóp là tổng diện tích các bên hình tam giác đối diện với mặt đáy.
- Đối với hình chóp tứ giác đều, diện tích xung quanh có thể được tính bằng công thức:
\[
S_{xq} = \frac{P_{đạy} \times \text{Chiều cao}}{2}
\]
Trong đó \( P_{đạy} \) là chu vi đáy của hình chóp.

2. **Diện tích toàn phần (S)**:
- Diện tích toàn phần của một hình chóp là tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy.
- Với hình chóp tứ giác đều, diện tích toàn phần có thể được tính bằng công thức:
\[
S = S_{xq} + S_{đạy}
\]

Với thông tin đã cho:
- Diện tích đáy \( S_{đạy} = 400 \, \text{cm}^2 \)
- Trung đoạn \( SI = 25 \, \text{cm} \)

Ta cần tìm chiều cao của hình chóp. Với hình chóp tứ giác đều, trung tuyến từ đỉnh đến mặt đáy sẽ là chiều cao.

Đặc tính của hình tứ giác đều là tất cả các cạnh bằng nhau và mỗi góc nội tiếp đều là \(90^\circ\). Vì vậy, ta có thể tính chiều dài cạnh của hình chóp bằng cách sử dụng công thức hình vuông:
\[ c = \sqrt{2} \times \text{độ dài trung đoạn} = \sqrt{2} \times 25 \]

Sau đó, ta tính chiều cao của hình chóp bằng cách sử dụng hệ lượng tử giác của hình tam giác vuông có chiều dài 2 cạnh góc vuông và chiều dài đường trung trực:
\[ \text{Chiều cao} = \sqrt{c^2 - (\frac{1}{2} \times c)^2} = \sqrt{c^2 - \frac{c^2}{4}} = \sqrt{\frac{3c^2}{4}} = \frac{c\sqrt{3}}{2} \]

Sau khi tính được chiều cao, ta có thể tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình chóp.