cho pt: x2 - (2m+3) + 2m = 0
a) giải pt khi m = -2
b) chứng minh pt luôn có 2 nghiệm phân biết với mọi m
c) gọi x1,x2 là 2 nghiệm của pt tìm m để A = đạt giá trị nhỏ nhất
Quảng cáo
2 câu trả lời 42
a) Giải phương trình khi \( m = -2 \):
Đưa phương trình về dạng chuẩn của một phương trình bậc hai: \( ax^2 + bx + c = 0 \)
Ứng với phương trình \( x^2 - (2m + 3)x + 2m = 0 \), ta có \( a = 1 \), \( b = -(2m + 3) \), và \( c = 2m \).
Thay \( m = -2 \) vào các hệ số, ta có:
\( b = -(2 \times (-2) + 3) = -1 \), và \( c = 2 \times (-2) = -4 \).
Vậy phương trình trở thành: \( x^2 - x - 4 = 0 \).
Dùng phương trình bậc hai để giải, ta có:
\( \Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \times 1 \times (-4) = 1 + 16 = 17 \).
\( x_{1,2} = \frac{{-b \pm \sqrt{\Delta}}}{{2a}} = \frac{{1 \pm \sqrt{17}}}{2} \).
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi \( m \):
Để chứng minh điều này, ta cần chứng minh rằng \( \Delta > 0 \) với mọi \( m \).
\( \Delta = 1 + 4ac = 1 + 8m > 0 \) với mọi \( m \) vì \( a = 1 \) (luôn dương), và \( m \) có thể nhận mọi giá trị thực.
Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi \( m \).
c) Tìm \( m \) để \( A = -\frac{1}{{x_1}^2} + {x_2}^2 - x_1x_2 \) đạt giá trị nhỏ nhất:
\( A = -\frac{1}{{x_1}^2} + {x_2}^2 - x_1x_2 \).
\( = -\frac{1}{(\frac{{1 + \sqrt{17}}}{2})^2} + (\frac{{1 - \sqrt{17}}{2}})^2 - (\frac{{1 + \sqrt{17}}}{2}) \times (\frac{{1 - \sqrt{17}}}{2}) \).
\( = -\frac{1}{{(\frac{{1 + \sqrt{17}}}{2})^2}} + (\frac{{1 - \sqrt{17}}{2}})^2 - (\frac{{1 + \sqrt{17}}}{2}) \times (\frac{{1 - \sqrt{17}}}{2}) \).
\( = -\frac{1}{{\frac{{(1 + \sqrt{17})^2}}{{4}}}} + \frac{{(1 - \sqrt{17})^2}}{{4}} - \frac{{(1 + \sqrt{17})(1 - \sqrt{17})}}{{4}} \).
\( = -\frac{4}{{(1 + \sqrt{17})^2}} + \frac{{(1 - \sqrt{17})^2 - (1 + \sqrt{17})(1 - \sqrt{17})}}{{4}} \).
\( = -\frac{4}{{(1 + \sqrt{17})^2}} + \frac{{1 - 2\sqrt{17} + 17 - (1 - 17)}}{{4}} \).
\( = -\frac{4}{{(1 + \sqrt{17})^2}} + \frac{{17 - 2\sqrt{17} + 17 + 17}}{{4}} \).
\( = -\frac{4}{{(1 + \sqrt{17})^2}} + \frac{{51 - 2\sqrt{17}}}{{4}} \).
Với \( x = 1 + \sqrt{17} \) thì \( x^2 = 18 + 2\sqrt{17} \).
\( A = -\frac{4}{x^2} + \frac{{51 - 2\sqrt{17}}}{{4}} \).
Để \( A \) đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm \( x \) để \( -\frac{4}{{x^2}} \) đạt giá trị lớn nhất và \( \frac{{51 - 2\sqrt{17}}}{{4}} \) đạt giá trị nhỏ nhất.
\( -\frac{4}{{x^2}} \) đạt giá trị lớn nhất khi \( x^2 \) đạt giá trị nhỏ nhất.
\( x^2 = 18 + 2\sqrt{17} \) đạt giá trị nhỏ nhất khi \( m = -\frac{b}{2a} = \frac{-(-1)}{2 \times 1} = \frac{1}{2} \).
\( \frac{{51 - 2\sqrt{17}}}{{4}} \) đạt giá trị nhỏ nhất khi \( x^2 \) đạt giá trị lớn nhất.
Vậy, \( m = \frac{1}{2} \) là giá trị cần tìm để \( A \) đạt giá trị nhỏ nhất.
a) Giải phương trình khi m=−2𝑚=−2:
Đưa phương trình về dạng chuẩn của một phương trình bậc hai: ax2+bx+c=0𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0
Ứng với phương trình x2−(2m+3)x+2m=0𝑥2−(2𝑚+3)𝑥+2𝑚=0, ta có a=1𝑎=1, b=−(2m+3)𝑏=−(2𝑚+3), và c=2m𝑐=2𝑚.
Thay m=−2𝑚=−2 vào các hệ số, ta có:
b=−(2×(−2)+3)=−1𝑏=−(2×(−2)+3)=−1, và c=2×(−2)=−4𝑐=2×(−2)=−4.
Vậy phương trình trở thành: x2−x−4=0𝑥2−𝑥−4=0.
Dùng phương trình bậc hai để giải, ta có:
Δ=b2−4ac=(−1)2−4×1×(−4)=1+16=17Δ=𝑏2−4𝑎𝑐=(−1)2−4×1×(−4)=1+16=17.
x1,2=−b±√Δ2a=1±√172𝑥1,2=−𝑏±Δ2𝑎=1±172.
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m𝑚:
Để chứng minh điều này, ta cần chứng minh rằng Δ>0Δ>0 với mọi m𝑚.
Δ=1+4ac=1+8m>0Δ=1+4𝑎𝑐=1+8𝑚>0 với mọi m𝑚 vì a=1𝑎=1 (luôn dương), và m𝑚 có thể nhận mọi giá trị thực.
Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m𝑚.
c) Tìm m𝑚 để A=−1x12+x22−x1x2𝐴=−1𝑥12+𝑥22−𝑥1𝑥2 đạt giá trị nhỏ nhất:
A=−1x12+x22−x1x2𝐴=−1𝑥12+𝑥22−𝑥1𝑥2.
=−1(1+√172)2+(1−√172)2−(1+√172)×(1−√172)=−1(1+172)2+(1−172)2−(1+172)×(1−172).
=−1(1+√172)2+(1−√172)2−(1+√172)×(1−√172)=−1(1+172)2+(1−172)2−(1+172)×(1−172).
=−1(1+√17)24+(1−√17)24−(1+√17)(1−√17)4=−1(1+17)24+(1−17)24−(1+17)(1−17)4.
=−4(1+√17)2+(1−√17)2−(1+√17)(1−√17)4=−4(1+17)2+(1−17)2−(1+17)(1−17)4.
=−4(1+√17)2+1−2√17+17−(1−17)4=−4(1+17)2+1−217+17−(1−17)4.
=−4(1+√17)2+17−2√17+17+174=−4(1+17)2+17−217+17+174.
=−4(1+√17)2+51−2√174=−4(1+17)2+51−2174.
Với x=1+√17𝑥=1+17 thì x2=18+2√17𝑥2=18+217.
A=−4x2+51−2√174𝐴=−4𝑥2+51−2174.
Để A𝐴 đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần tìm x𝑥 để −4x2−4𝑥2 đạt giá trị lớn nhất và 51−2√17451−2174 đạt giá trị nhỏ nhất.
−4x2−4𝑥2 đạt giá trị lớn nhất khi x2𝑥2 đạt giá trị nhỏ nhất.
x2=18+2√17𝑥2=18+217 đạt giá trị nhỏ nhất khi m=−b2a=−(−1)2×1=12𝑚=−𝑏2𝑎=−(−1)2×1=12.
51−2√17451−2174 đạt giá trị nhỏ nhất khi x2𝑥2 đạt giá trị lớn nhất.
Vậy, m=12𝑚=12 là giá trị cần tìm để A𝐴 đạt giá trị nhỏ nhất.
Quảng cáo
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
3 88487
-
Hỏi từ APP VIETJACK3 53621
-
42904
-
13 32562
-
1 29881
-
Hỏi từ APP VIETJACK2 21087