Để tính diện tích \( S \) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \( y = \frac{x^3}{3} \) và \( y = \sqrt{3x} \), ta cần tìm điểm giao nhau của hai đường cong và tính diện tích giữa chúng.

Để tìm điểm giao nhau, ta giải phương trình:

\[ \frac{x^3}{3} = \sqrt{3x} \]

Để giải phương trình này, có thể cần phải sử dụng phương pháp giải đồng thức hoặc sử dụng phần mềm tính toán. Sau khi tìm được các giá trị \( x \), ta sẽ sử dụng chúng để tính diện tích \( S \).

Khi đã có các giá trị \( x \) của điểm giao nhau, ta tính diện tích \( S \) bằng cách tính tích phân của hàm số \( y = \frac{x^3}{3} \) và hàm số \( y = \sqrt{3x} \) trên khoảng từ \( x \) đầu tiên đến \( x \) thứ hai.

\[ S = \int_{x_1}^{x_2} (f(x) - g(x)) dx \]

Trong đó:
- \( x_1 \) và \( x_2 \) là hai giá trị của \( x \) tương ứng với điểm giao nhau.
- \( f(x) \) và \( g(x) \) lần lượt là các hàm số \( y = \frac{x^3}{3} \) và \( y = \sqrt{3x} \).

Tính tích phân của \( f(x) - g(x) \) trên khoảng từ \( x_1 \) đến \( x_2 \) sẽ cho diện tích giữa hai đường cong.

Để tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x^3/3 và y = √(3x), ta cần tìm điểm giao nhau của hai đồ thị này.

Để tìm điểm giao nhau, ta giải phương trình x^3/3 = √(3x). Bằng cách bình phương hai vế, ta có:

(x^3/3)^2 = ( √(3x) )^2
x^6/9 = 3x
x^6 = 27x
x^5 = 27
x = 3

Khi x = 3, ta tính được y = 3^3/3 = 9.

Vậy điểm giao nhau của hai đồ thị là (3, 9).

Để tính diện tích S, ta tính tích phân của hàm số y = x^3/3 trừ đi hàm số y = √(3x) từ x = 0 đến x = 3:

\(S = \int_{0}^{3} \left( \frac{x^3}{3} - \sqrt{3x} \right) dx\)

\(S = \left[ \frac{x^4}{12} - \frac{2}{3} \sqrt{3x^3} \right]_{0}^{3}\)

\(S = \left( \frac{3^4}{12} - \frac{2}{3} \sqrt{3 \cdot 3^3} \right) - \left( \frac{0^4}{12} - \frac{2}{3} \sqrt{3 \cdot 0^3} \right)\)

\(S = \left( \frac{81}{12} - 6 \right) - 0\)

\(S = \frac{81}{12} - 6\)

\(S = \frac{27}{4} - 6\)

\(S = \frac{27 - 24}{4}\)

\(S = \frac{3}{4}\)

Vậy diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y = x^3/3 và y = √(3x) là 3/4.