Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Chứng minh tam giác MHA đồng dạng với tam giác HBA.
2. Tính diện tích của tam giác HBA.
3. Tính thể tích của khối đá.

Bước 1: Chứng minh tam giác MHA đồng dạng với tam giác HBA.
- Vì M là hình chiếu của H lên AB nên theo tính chất của đường cao, ta có: \(\widehat{MHA} = \widehat{HBA}\) (góc kề cạnh).
- Tương tự, vì N là hình chiếu của H lên AC nên ta cũng có: \(\widehat{MHN} = \widehat{HAB}\) (góc kề cạnh).
- Đồng thời, ta cũng biết rằng góc ở đỉnh của các tam giác cùng nhìn vào đỉnh là bằng nhau.
- Do đó, tam giác MHA đồng dạng với tam giác HBA theo định lí góc giống nhau.

Bước 2: Tính diện tích của tam giác HBA.
- Ta biết diện tích của tam giác HBA là \(S = \frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{chiều cao}\).
- Với tam giác HBA, đáy là AB, chiều cao là \(HN\).
- Ta cần tính độ dài của HN. Vì tam giác HBA là tam giác vuông tại H nên ta có: \(HN^2 = HA \times HB\).
- Gọi x là độ dài cạnh của tam giác vuông ABC, ta có: \(HA = HB = x\).
- Vậy \(HN^2 = x^2\) ⇒ \(HN = x\).
- Diện tích tam giác HBA là: \(S = \frac{1}{2} \times AB \times HN = \frac{1}{2} \times x \times x = \frac{1}{2}x^2\).

Bước 3: Tính thể tích của khối đá.
- Thể tích của hình chóp được tính bằng cách nhân diện tích đáy với chiều cao: \(V = \frac{1}{3} \times S_{\text{đáy}} \times \text{chiều cao}\).
- Với khối đá, diện tích đáy là \(S_{\text{đáy}} = 6 m^2\) và chiều cao là \(2.5 m\).
- Thế vào công thức ta có: \(V = \frac{1}{3} \times 6 \times 2.5 = 5 m^3\).

Vậy thể tích của khối đá là \(5 m^3\).

Để chứng minh tam giác MHA đồng dạng với tam giác HBA, ta cần chứng minh tỉ số đồng dạng giữa chúng.

Gọi \(S_1\) và \(S_2\) lần lượt là diện tích của tam giác MHA và tam giác HBA. Ta có:

\(S_1 = \frac{1}{2} \cdot MA \cdot AH\)

\(S_2 = \frac{1}{2} \cdot HB \cdot HA\)

Vì tam giác MHA đồng dạng với tam giác HBA, nên tỉ số giữa diện tích của chúng là bằng tỉ số bình của các cạnh tương ứng:

\(\frac{S_1}{S_2} = \frac{MA}{HB} \cdot \frac{AH}{HA}\)

Ta cần chứng minh \(\frac{MA}{HB} = \frac{AH}{HA}\) để kết luận tam giác MHA đồng dạng với tam giác HBA.

Để chứng minh điều này, ta sử dụng định lí hình học cơ bản: "Trong tam giác vuông, đường cao chia tam giác thành 2 tam giác vuông đồng dạng với tam giác ban đầu".

Do đó, ta có:

\(\frac{MA}{HB} = \frac{AH}{HA}\)

Vậy, ta đã chứng minh được tam giác MHA đồng dạng với tam giác HBA.

Để tính diện tích của khối hình chóp tam giác đều, ta sử dụng công thức:

\(V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{đáy}} \cdot h\)

Với \(S_{\text{đáy}} = 6 m^2\) và \(h = 2.5 m\), ta có:

\(V = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 2.5 = 5 m^3\)

Vậy diện tích của khối hình chóp tam giác đều là 5 \(m^3\).