Để tìm hình chiếu của điểm \( A \) lên đường thẳng \( BC \), ta cần tìm điểm trên đường thẳng \( BC \) gần nhất với điểm \( A \), sau đó tìm điểm chiếu của \( A \) lên đường thẳng này.

Đường thẳng \( BC \) có phương trình:
\[ x = -t, \quad y = 3 + t, \quad z = 1 + t \]

Điểm \( A \) có tọa độ \( (2, 0, 0) \).

Để tìm điểm gần nhất trên đường thẳng \( BC \) với \( A \), ta sẽ giải hệ phương trình giữa tọa độ của điểm \( A \) và phương trình của đường thẳng \( BC \):
\[ \begin{cases} x = -t \\ y = 3 + t \\ z = 1 + t \end{cases} \]

Thay \( x = 2 \) vào phương trình đường thẳng, ta có \( -t = 2 \), do đó \( t = -2 \). Khi đó, \( y = 3 - 2 = 1 \) và \( z = 1 - 2 = -1 \).

Vậy điểm gần nhất trên đường thẳng \( BC \) với \( A \) có tọa độ là \( (-2, 1, -1) \).

Bây giờ, để tìm hình chiếu của \( A \) lên đường thẳng \( BC \), chúng ta cần tìm điểm \( D \) nằm trên đường thẳng \( BC \) sao cho \( AD \) vuông góc với \( BC \). Điểm \( D \) chính là hình chiếu của \( A \) lên \( BC \).

Để tính được điểm \( D \), ta sẽ sử dụng công thức hình chiếu điểm \( A \) lên đường thẳng \( BC \):
\[ D = B + \frac{(AD) \cdot \vec{BC}}{\lVert \vec{BC} \rVert^2} \cdot \vec{BC} \]

Trước tiên, ta cần tính vector \( \vec{BC} \):
\[ \vec{BC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B} = (-1, 4, 0) - (0, 3, 1) = (-1, 1, -1) \]

Tiếp theo, tính vector \( \overrightarrow{AD} \):
\[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A} \]

Đặt \( D = (x_D, y_D, z_D) \), ta có:
\[ \overrightarrow{AD} = (x_D - 2, y_D - 0, z_D - 0) = (x_D - 2, y_D, z_D) \]

Vì \( AD \) vuông góc với \( BC \), nên tích vô hướng của \( AD \) và \( BC \) bằng 0:
\[ \overrightarrow{AD} \cdot \vec{BC} = 0 \]
\[ (x_D - 2, y_D, z_D) \cdot (-1, 1, -1) = 0 \]
\[ (-x_D + 2) - (y_D) + (-z_D) = 0 \]
\[ -x_D - y_D - z_D + 2 = 0 \]
\[ -x_D - y_D - z_D = -2 \]

Do đó, chúng ta có một điều kiện để tính \( D \).

Sau khi có \( D \), ta có thể tìm được hình chiếu của \( A \) lên \( BC \) bằng cách tính toán \( D \).

Tóm lại, để tìm hình chiếu của \( A \) lên đường thẳng \( BC \), chúng ta cần thực hiện các bước sau:
1. Tìm điểm gần nhất trên đường thẳng \( BC \) với \( A \).
2. Sử dụng điểm này để tính toán điểm \( D \) nằm trên \( BC \).
3. Xác định \( D \) và từ đó tính được hình chiếu của \( A \) lên \( BC \).