Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác đồng dạng và các tam giác vuông.

a) Để chứng minh △ABC đồng dạng △DFC:
- Cả hai tam giác đều có một góc vuông tại F.
- Góc ADC và góc CDF là góc nhìn cùng về cạnh BC, nên chúng bằng nhau (do góc ADC = góc ABC, góc CDF = góc BCF).
- Góc A và góc DFC là góc nhìn cùng về cạnh AC, nên chúng bằng nhau (do góc A = góc ADF, góc C = góc CDF).
Do đó, theo ĐĐTT (đồng dạng tam giác), ta có △ABC đồng dạng △DFC.

b) Ta có:
$\angle BAE = \angle FDC$ (vì AE và CF là các đường chéo của hình chữ nhật ABFC).
$\angle EAF = \angle FDC$ (vì EF và DC là đường thẳng, nên góc FDC cũng là góc phụ của góc EAF).
Vậy, theo góc đồng nhất, ta có $\triangle ABE \sim \triangle DCF$.
Do đó, ta có tỉ lệ giữa các cạnh:
$\frac{AE}{DC} = \frac{BE}{CF}$
$\Rightarrow AE \cdot CF = BE \cdot DC$
Nhưng $BE = BC$ (vì ABFC là hình chữ nhật) và $DC = DF$ (vì DF là phân giác của tam giác vuông DBC).
Vậy, $AE \cdot CF = EF \cdot AC$.

c) Ta đã chứng minh △ABE đồng dạng △DCF, vì vậy góc ADE bằng góc ECF (do góc ADE là góc nhìn cùng về cạnh DE, góc ECF là góc nhìn cùng về cạnh CF).
Nên $\triangle ADE = \triangle ECF$.

d) Để tìm vị trí của điểm D trên BC sao cho $DE \cdot DF$ đạt giá trị lớn nhất, chúng ta sẽ sử dụng nguyên lý sau: "trong tam giác vuông, phân giác của góc nhọn có độ dài bằng nửa chu vi của tam giác". Do đó, để $DE \cdot DF$ lớn nhất, điểm D cần nằm ở giữa trên cạnh BC.