a) Ta có tam giác ABC với BD là đường trung tuyến, do đó BD chia AC thành hai phần bằng nhau. Khi vẽ đường thẳng CE song song với AB, ta có hai tam giác đồng dạng ABC và BCE (do các góc tương đương). Do đó, tỉ số cạnh tương ứng giữa hai tam giác này là bằng nhau.

Vậy, ta có:
\[ \frac{BD}{DE} = \frac{BC}{CE} \]

Nhưng BD là đường trung tuyến, nên \(BD = \frac{1}{2}BC\). Tương tự, CE cũng là đường trung tuyến, nên \(CE = \frac{1}{2}AB\). Do đó:
\[ \frac{BD}{DE} = \frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{1}{2}AB} = \frac{BC}{AB} \]

Vì CE song song với AB, nên các tam giác ABC và BCE đồng dạng. Do đó, \(BC = CE\), và từ đó ta có \(BD = DE\).

b) Ta đã chứng minh được BD = DE, do đó tam giác BED là tam giác cân tại B. Vậy, ta có ME là đoạn trung bình của tam giác BED, nên ME song song với BE và ME = \(\frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}DE\).

Tương tự, ta có MN là đoạn trung bình của tam giác CBE, nên MN song song với BE và MN = \(\frac{1}{2}CE = \frac{1}{2}DE\).

Như vậy, \(ME \parallel BD \parallel MN\), và \(ME = MN = \frac{1}{2}DE\). Do đó, M là trung điểm của DE.

Giờ ta có hai tam giác đồng dạng: AEM và ABC, theo định lý thales, AM cắt BE tại I sao cho BI = IE.

Tương tự, ta có hai tam giác đồng dạng: ANC và ACB, theo định lý thales, AN cắt BE tại K sao cho KE = EN.

Do \(BI = IE\) và \(KE = EN\), từ đó ta có \(BI = IK = KE\).

Để chứng minh các phần của bài toán, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác và đường trung tuyến.

a) Để chứng minh \( BD = DE \), ta sẽ sử dụng tính chất của đường trung tuyến trong tam giác.

Vì \( BD \) là đường trung tuyến của tam giác \( ABC \), nên theo tính chất của đường trung tuyến, \( BD \) chia \( AC \) thành hai phần bằng nhau.

Từ điều này, ta có:
\[ AC = 2 \times BD \]

Nhưng vì \( CE \) song song với \( AB \), nên ta có hai tam giác \( ABC \) và \( CDE \) đồng dạng theo nguyên tắc các góc bằng nhau do các đường song song. Vì vậy:
\[ \frac{AC}{AB} = \frac{CE}{CD} \]

Do \( AC = 2 \times BD \) và \( AB = 2 \times BC \) (vì \( BD \) là đường trung tuyến), ta có:
\[ \frac{2 \times BD}{2 \times BC} = \frac{CE}{CD} \]
\[ \frac{BD}{BC} = \frac{CE}{CD} \]

Tương đương với:
\[ BD \times CD = BC \times CE \]

Nhưng \( BC = CD \) (vì \( BD \) là đường trung tuyến), nên:
\[ BD \times CD = BC \times CE = CD \times CE \]

Từ đó suy ra:
\[ BD = CE \]

Nhưng \( CE = DE \) (vì \( CE \) là đoạn thẳng song song với \( AB \) và cắt \( BD \)), vậy:
\[ BD = DE \]

b) Để chứng minh \( BI = IK = KE \), ta sẽ sử dụng một số tính chất của trung điểm và đường trung tuyến.

Vì \( M \) và \( N \) lần lượt là trung điểm của \( BC \) và \( CE \), nên \( BM = MC \) và \( CN = NE \).

Vì \( I \) là giao điểm của \( AM \) và \( BE \), nên theo nguyên lý Thales, ta có:
\[ \frac{BI}{IM} = \frac{BC}{CM} = 1 \]

Tương tự, với \( K \), ta có:
\[ \frac{EK}{KN} = \frac{CE}{EN} = 1 \]

Do đó, \( BI = IM \) và \( EK = KN \).

Từ điều này, ta cũng có thể suy ra \( IK = KM \) (do \( IK = IM + KM \)).

Vì vậy:
\[ BI = IK = KE \]

Đó là những gì cần chứng minh.