Để hàm số \( f(x) = x^2 - 2x - 3 \) nhận giá trị dương với mọi \( x \) thuộc \( \mathbb{R} \), ta cần xác định điều kiện để \( f(x) > 0 \) với mọi \( x \) trong tập hợp các số thực.

Để giải bất phương trình \( f(x) > 0 \), ta có thể sử dụng phương pháp khảo sát dấu của hàm số:

1. **Tìm điểm cực trị**: Đạo hàm của \( f(x) \) là \( f'(x) = 2x - 2 \). Ta giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm điểm cực trị:
\[ f'(x) = 0 \Rightarrow 2x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1 \]

2. **Khảo sát dấu của \( f(x) \) xung quanh điểm cực trị \( x = 1 \)**:
- Khi \( x < 1 \), ta chọn \( x = 0 \) (giá trị nằm giữa 2 cực trị), thử vào \( f(x) = x^2 - 2x - 3 \):
\[ f(0) = 0^2 - 2(0) - 3 = -3 \]
Ta thấy \( f(x) < 0 \) khi \( x < 1 \).
- Khi \( x > 1 \), ta chọn \( x = 2 \) (giá trị nằm ngoài cực trị), thử vào \( f(x) = x^2 - 2x - 3 \):
\[ f(2) = 2^2 - 2(2) - 3 = 1 - 4 - 3 = -6 \]
Ta thấy \( f(x) < 0 \) khi \( x > 1 \).

Dựa vào khảo sát dấu của \( f(x) \), ta thấy \( f(x) < 0 \) khi \( x < 1 \) và \( f(x) < 0 \) khi \( x > 1 \). Do đó, không có giá trị của \( x \) nào khiến \( f(x) > 0 \).

Tóm lại, hàm số \( f(x) = x^2 - 2x - 3 \) không nhận giá trị dương với mọi \( x \) thuộc \( \mathbb{R} \).

Để xác định xem hàm số \( f(x) = x^2 - 2x - 3 \) có nhận giá trị dương với mọi \( x \) thuộc \( \mathbb{R} \) hay không, ta có thể sử dụng phương pháp kiểm tra định tính của hàm số bậc hai.

Hàm số \( f(x) = x^2 - 2x - 3 \) là một hàm số bậc hai, có dạng \( ax^2 + bx + c \). Để xác định dấu của hàm số, ta có thể quan sát hệ số \( a \). Nếu \( a > 0 \), thì đồ thị của hàm số sẽ mở lên trên, và hàm số sẽ nhận giá trị dương với mọi \( x \) nằm giữa hai điểm mà đồ thị cắt trục hoành.

Trong trường hợp này, \( a = 1 \) (hệ số của \( x^2 \) là dương). Vì vậy, đồ thị của hàm số mở lên trên, và để kiểm tra xem hàm số có nhận giá trị dương với mọi \( x \) hay không, ta cần kiểm tra điểm nào mà hàm số không nhận giá trị dương.

Để giải quyết vấn đề này, ta có thể sử dụng phương trình \( f(x) = 0 \) để tìm các điểm mà hàm số có thể đạt giá trị bằng 0. Tức là, ta giải phương trình \( x^2 - 2x - 3 = 0 \).

\[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]

Để giải phương trình này, ta có thể sử dụng phương pháp khai căn hoặc sử dụng công thức viết phân thành hai ứng với \( a = 1, b = -2, c = -3 \). Kết quả ta thu được các nghiệm là \( x = -1 \) và \( x = 3 \).

Ta nhận thấy rằng hàm số \( f(x) = x^2 - 2x - 3 \) có đồ thị là một parabol mở lên trên, và nó cắt trục hoành tại \( x = -1 \) và \( x = 3 \). Khi kiểm tra trên các đoạn không chứa hai điểm này, hàm số sẽ nhận giá trị dương, do đó câu trả lời là có, hàm số \( f(x) = x^2 - 2x - 3 \) nhận giá trị dương với mọi \( x \) thuộc \( \mathbb{R} \).