Để hàm số \( |f(x^2 - 2x)| \) có ít nhất 9 điểm cực trị, thì hàm số \( f(x^2 - 2x) \) phải có ít nhất 9 điểm cực trị.

Ta biến đổi hàm số \( f(x) = x^3 - 3x^2 + mx - 2m \) thành \( f(x^2 - 2x) = (x^2 - 2x)^3 - 3(x^2 - 2x)^2 + m(x^2 - 2x) - 2m \).

Để tính số điểm cực trị của hàm số này, ta tính đạo hàm và tìm nghiệm của đạo hàm bằng 0:

\[ f'(x^2 - 2x) = 3(x^2 - 2x)^2 \cdot (2x - 2) - 6(x^2 - 2x)(2x - 2) + m \]
\[ = 3(x^2 - 2x)^2(2x - 2 - 2) + m \]
\[ = 3(x^2 - 2x)^2(2x - 4) + m \]

Đặt \( t = x^2 - 2x \), ta có \( f'(t) = 3t^2(2x - 4) + m \).

Để hàm số \( f(x^2 - 2x) \) có điểm cực trị, ta giải phương trình \( f'(t) = 0 \):
\[ 3t^2(2x - 4) + m = 0 \]
\[ 3t^2(2(x - 2)) + m = 0 \]
\[ 6t^2(x - 2) + m = 0 \]

Phương trình này có hai nghiệm duy nhất \( x = 2 \) và \( t^2 = 0 \).

Vì vậy, để hàm số \( f(x^2 - 2x) \) có ít nhất 9 điểm cực trị, hàm số \( f'(x^2 - 2x) \) phải có ít nhất 9 nghiệm.

Điều này có thể xảy ra khi và chỉ khi các đa thức bậc hai \( 6t^2(x - 2) + m \) có 9 nghiệm.

Một đa thức bậc hai có nhiều nhất \( n \) nghiệm khác nhau nếu và chỉ nếu nó có ít nhất \( n \) giá trị cực đại và cực tiểu.

Đa thức \( 6t^2(x - 2) + m \) có cực đại và cực tiểu tại \( x = 2 \).

Vậy, để có ít nhất 9 nghiệm, ta cần đặt \( m \) sao cho đa thức \( 6t^2(x - 2) + m \) có ít nhất 9 giá trị cực đại và cực tiểu.

Tuy nhiên, để đảm bảo điều kiện này, ta cần phải giải phương trình \( 6t^2(x - 2) + m = 0 \) sao cho có ít nhất 9 nghiệm, nhưng không phải tất cả các giá trị của \( m \) đều thỏa mãn điều này.

Do đó, số lượng giá trị nguyên của tham số \( m \) để hàm số \( |f(x^2 - 2x)| \) có ít nhất 9 điểm cực trị là số lượng giá trị của \( m \) khi đa thức \( 6t^2(x - 2) + m \) có ít nhất 9 nghiệm. Điều này yêu cầu một phân tích chi tiết hơn về đa thức bậc hai này. Để tiếp tục, chúng ta cần phải xác định số lượng giá trị của \( m \) thỏa mãn điều kiện trên.

Để tìm số lượng giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(|f(x^2 - 2x)|\) có ít nhất 9 điểm cực trị, ta cần xem xét các trường hợp của hàm số \(f(x^2 - 2x)\).

Để thuận tiện, ta sẽ đặt \(t = x^2 - 2x\), khi đó hàm số \(f(t) = t^3 - 3t^2 + mt - 2m\).

Để hàm số \(|f(t)|\) có ít nhất 9 điểm cực trị, hàm số \(f(t)\) phải có ít nhất 4 điểm cực trị. Điều này xảy ra khi đạo hàm của \(f(t)\) có ít nhất 3 nghiệm.

Đạo hàm của \(f(t)\) là \(f'(t) = 3t^2 - 6t + m\).

Để tìm số nghiệm của \(f'(t) = 0\), ta sẽ giải phương trình:

\[3t^2 - 6t + m = 0\]

Với \(\Delta = (-6)^2 - 4(3)(m) = 36 - 12m\).

- Nếu \(\Delta > 0\), tức là có hai nghiệm phân biệt, do đó hàm số \(f(t)\) sẽ có 3 điểm cực trị.
- Nếu \(\Delta = 0\), tức là có một nghiệm kép, do đó hàm số \(f(t)\) sẽ có 2 điểm cực trị.
- Nếu \(\Delta < 0\), tức là không có nghiệm thực nào, do đó hàm số \(f(t)\) sẽ không có điểm cực trị.

Vì ta cần ít nhất 3 điểm cực trị, nên ta cần xem xét các trường hợp \(\Delta > 0\) và \(\Delta = 0\).

1. \(\Delta > 0\):
\[\Delta = 36 - 12m > 0 \implies m < 3\]

2. \(\Delta = 0\):
\[\Delta = 36 - 12m = 0 \implies m = 3\]

Vậy, để hàm số \(|f(t)|\) có ít nhất 9 điểm cực trị, ta cần xét các giá trị nguyên của \(m\) sao cho \(m < 3\). Và có \(3 - (-\infty) = 3\) giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn điều kiện này.