Để thực hiện phép chia đa thức (2x^4 + 4x^3 - 3x^2 - 4x + 1) cho (x^2 - 1) theo cách đặt tính dọc, ta thực hiện các bước sau:

1. Chia x^2 cho 2x^4 để được 2x^2. Ghi 2x^2 lên trên dấu chia.

2x^2

2x^4 + 4x^3 - 3x^2 - 4x + 1

2. Nhân 2x^2 với (x^2 - 1) để được 2x^4 - 2x^2. Trừ (2x^4 - 2x^2) từ (2x^4 + 4x^3 - 3x^2) để được 4x^3 + x^2. Đưa 4x^3 + x^2 xuống dưới dấu chia.

2x^2

2x^4 + 4x^3 - 3x^2 - 4x + 1
- (2x^4 - 2x^2)
_______________
4x^3 + x^2

3. Chia 4x^3 cho x^2 để được 4x. Ghi 4x lên trên dấu chia.

2x^2 + 4x

2x^4 + 4x^3 - 3x^2 - 4x + 1
- (2x^4 - 2x^2)
_______________
4x^3 + x^2
- (4x^3 - 4x^2)
___________
5x^2 - 4x

4. Nhân 4x với (x^2 - 1) để được 4x^3 - 4x. Trừ (4x^3 - 4x) từ (4x^3 + x^2) để được 5x^2 - 4x. Đưa 5x^2 - 4x xuống dưới dấu chia.

2x^2 + 4x

2x^4 + 4x^3 - 3x^2 - 4x + 1
- (2x^4 - 2x^2)
_______________
4x^3 + x^2
- (4x^3 - 4x^2)
___________
5x^2 - 4x
- (5x^2 - 5x)
___________
x + 1

5. Chia x cho x^2 để được 0. Ghi x lên trên dấu chia.

2x^2 + 4x + x

2x^4 + 4x^3 - 3x^2 - 4x + 1
- (2x^4 - 2x^2)
_______________
4x^3 + x^2
- (4x^3 - 4x^2)
___________
5x^2 - 4x
- (5x^2 - 5x)
___________
x + 1
- (x)
_______
1

Kết quả của phép chia đa thức (2x^4 + 4x^3 - 3x^2 - 4x + 1) cho (x^2 - 1) theo cách đặt tính dọc là: 2x^2 + 4x + x + 1.

\begin{array}{l|l} 2x^4 + 4x^3 - 3x^2 - 4x + 1 & x^2 - 1 \\ \cline{2-2} 2x^4 \quad\quad\quad - 2x^2 & 2x^2 + 4x - 1 \\ \cline{1-2} \quad\quad 4x^3 - x^2 - 4x + 1 & \\ \quad\quad 4x^3 \quad\quad\quad - 4x & \\ \cline{1-2} \quad\quad\quad\quad -x^2 \quad\quad + 1 & \\ \quad\quad\quad\quad -x^2 \quad\quad + 1 & \\ \cline{1-2} \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad 0 & \end{array}
Các bước thực hiện chi tiết:
Lần 1: Lấy số hạng bậc cao nhất của bị chia chia cho số hạng bậc cao nhất của số chia (\(2x^4 : x^2 = 2x^2\)).
Nhân \(2x^{2}\) với \((x^2 - 1)\) được \(2x^4 - 2x^2\).
Lấy đa thức bị chia trừ đi tích vừa nhân, ta được dư thứ nhất là \(4x^3 - x^2 - 4x + 1\).
Lần 2: Lấy số hạng đầu của dư thứ nhất chia cho số hạng đầu của số chia (\(4x^3 : x^2 = 4x\)).
Nhân \(4x\) với \((x^2 - 1)\) được \(4x^3 - 4x\).
Lấy dư thứ nhất trừ đi tích vừa nhân, ta được dư thứ hai là \(-x^2 + 1\).
Lần 3: Lấy số hạng đầu của dư thứ hai chia cho số hạng đầu của số chia (\(-x^2 : x^2 = -1\)).
Nhân \(-1\) với \((x^2 - 1)\) được \(-x^2 + 1\).
Trừ hai đa thức cho nhau ta được số dư bằng \(0\).

Kết quả:
\((2x^4 + 4x^3 - 3x^2 - 4x + 1) : (x^2 - 1) = 2x^2 + 4x - 1\) (phép chia hết).

Để thực hiện phép chia đa thức $(2x^4 + 4x^3 - 3x^2 - 4x + 1) : (x^2 - 1)$ theo cách đặt tính dọc, ta làm theo các bước sau:
Bước 1: Đặt tính
Viết đa thức bị chia và đa thức chia theo dạng đặt tính dọc (chú ý xếp các hạng tử cùng bậc thẳng hàng với nhau). Do đa thức chia khuyết bậc 1 ($x$), ta có thể ngầm hiểu hoặc để trống một khoảng để dễ tính toán, nhưng ở đây các bậc của đa thức bị chia đã đầy đủ từ bậc 4 đến bậc 0.
Bước 2: Thực hiện chia từng bước
Lấy hạng tử cao nhất của đa thức bị chia là $2x^4$ chia cho hạng tử cao nhất của đa thức chia là $x^2$, được $2x^2$. Nhân ngược lại rồi trừ đi.
Lấy số dư thứ nhất, tiếp tục lấy hạng tử cao nhất là $4x^3$ chia cho $x^2$, được $4x$. Nhân ngược lại rồi trừ đi.
Lấy số dư thứ hai, lấy hạng tử cao nhất là $-x^2$ chia cho $x^2$, được $-1$. Nhân ngược lại rồi trừ đi để tìm số dư cuối cùng.
Hình ảnh minh họa phép đặt tính dọc cụ thể:
Plaintext 
2x^4 + 4x^3 - 3x^2 - 4x + 1 | x^2 - 1
-                                             |-----------------
2x^4             - 2x^2               | 2x^2 + 4x - 1
----------------------------------
            4x^3 - x^2 - 4x + 1
         -
            4x^3          - 4x
----------------------------------
                     - x^2        + 1
                 -
                     - x^2        + 1
----------------------------------
                                  0
Kết luận:
Phép chia trên là phép chia hết.
Thương tìm được là: $2x^2 + 4x - 1$
Số dư bằng: $0$