Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Giải bài toán:
a) Chứng minh tứ giác AECD nội tiếp:

Vì MA và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) nên:∠OMA = ∠OMB = 90° (góc tạo bởi tiếp tuyến và bán kính tại điểm tiếp xúc)
Xét tứ giác AECD:∠AEC = ∠AMB = 90° (cùng phụ với ∠BME)
∠CAD = ∠CMD = 90° (góc nội tiếp chắn cung CD)
Tứ giác AECD có hai góc đối diện bằng nhau nên tứ giác AECD nội tiếp (định lý tứ giác nội tiếp).
b) Chứng minh CD' = CE.CF:

Xét tam giác CED và tam giác CMF:∠CED = ∠CMF (góc nội tiếp cùng chắn cung CM)
∠ECD = ∠FCM (đối đỉnh)
Cạnh CD chung
Do đó, tam giác CED ~ tam giác CMF (g.g)
Tỉ lệ đồng dạng:CFCE=CMCD
Suy ra:CE⋅CM=CD⋅CF
CD2=CE⋅CF
c) Chứng minh IK ⊥ CD:

Gọi I là giao điểm của AC và DE, K là giao điểm của BC và DF.
Vì tứ giác AECD nội tiếp (cmt) nên:

∠AED = ∠ACD (góc nội tiếp cùng chắn cung AD)
Xét tam giác AED và tam giác ACD:

∠AED = ∠ACD (cmt)
AD chung
∠EAD = ∠CAD = 90° (góc nội tiếp chắn cung AD và CD)
Do đó, tam giác AED ~ tam giác ACD (g.g)
Tỉ lệ đồng dạng:

ACAE=CDAD
Suy ra:

AE⋅CD=AD⋅AC
Xét tam giác AEF và tam giác AFC:

∠AEF = ∠AFC (góc nội tiếp cùng chắn cung AF)
AF chung
∠EAF = ∠FAC = 90° (góc nội tiếp chắn cung AE và AC)
Do đó, tam giác AEF ~ tam giác AFC (g.g)
Tỉ lệ đồng dạng:

AFAE=FCAC
Suy ra:

AE⋅FC=AF⋅AC
Từ hai phương trình trên, ta có:

AE⋅CD=AD⋅AC=AE⋅FC
Chia hai vế cho AE, ta được:

CD = FC
Do đó, IK ⊥ CD (định lý Thales).
Kết luận:

Tứ giác AECD nội tiếp đường tròn.
CD' = CE.CF
IK ⊥ CD.

...Xem thêm

Answer 2