a. Chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật.

Xét tam giác AOB và tam giác BMN, ta có:

OA = OB = R (đường kính)
AM = BM = R (đường kính)
góc AOB = góc BMN = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Vậy, tam giác AOB và tam giác BMN cân tại O, suy ra:

AO = OB
AM = BN
Ta lại có:

góc AOB = góc BMN = 90o (đã chứng minh)
góc AMB = góc NBM = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Vậy, tứ giác AMBN có 4 góc vuông, suy ra tứ giác AMBN là hình chữ nhật.

b. Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.

Xét tam giác ABQ, ta có:

AB = R (đường kính)
BQ = R (tiếp tuyến với (O) tại B)
Vậy, tam giác ABQ vuông tại B, suy ra:

góc ABQ = 90o
Xét tam giác AMN, ta có:

AM = AN = R (đường kính)
góc AMN = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Vậy, tam giác AMN vuông tại A, suy ra:

góc MAN = 90o
Từ hai góc vuông góc ABQ = 90o và góc MAN = 90o, ta có:

góc AQN = 180o - 90o - 90o = 0o
Vậy, tứ giác AQN là tứ giác lồi.

Tiếp theo, xét tam giác AQN và tam giác BQN, ta có:

AQ = BQ (tiếp tuyến với (O) tại B)
AN = BN (đường kính)
góc AQN = 0o (đã chứng minh)
Vậy, tam giác AQN và tam giác BQN đồng dạng theo tỉ số đồng dạng 1:1.

Từ đó, ta có:

QN/QN = 1/1
QN = QN
Vậy, QN = 0.

Vậy, tứ giác AQN là tứ giác khép kín.

Vậy, bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.

Kết luận:

Tứ giác AMBN là hình chữ nhật.
Bốn điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.