Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để tìm nghiệm nguyên của phương trình \(x^2 + y^2 - 2x + y = 9\), chúng ta có thể cố gắng hoàn thành bình phương để chuyển đổi nó thành một dạng có thể giải quyết được. Đầu tiên, ta cần hoàn thành bổ sung để tạo thành một dạng hoàn thiện của phương trình đồng thời đồng thời làm cho các số nguyên trên mỗi bên của phương trình.

Để làm điều này, ta cần hoàn thành bình phương cho các thành phần \(x\) và \(y\) và điều chỉnh để biểu thức trở thành một dạng bình phương hoàn thiện.

Bắt đầu bằng việc hoàn thành bổ sung các thành phần liên quan đến \(x\) và \(y\):

\[
x^2 - 2x + y^2 + y = 9
\]

Tiếp theo, ta cần hoàn thiện bình phương bằng cách thêm một số hạng cố định vào cả hai bên của phương trình. Để hoàn thiện bình phương theo \(x\), ta cộng thêm bình phương của một nửa của hệ số của \(x\) vào cả hai bên:

\[
x^2 - 2x + 1 + y^2 + y = 9 + 1 \Rightarrow (x - 1)^2 + (y + \frac{1}{2})^2 = 10
\]

Bây giờ phương trình đã trở thành một dạng chuẩn của hình tròn với tâm là \((1, -\frac{1}{2})\) và bán kính là \(\sqrt{10}\). Để tìm các nghiệm nguyên của phương trình, chúng ta có thể xem xét các giá trị nguyên cho \(x\) và \(y\) sao cho \(x - 1\) và \(y + \frac{1}{2}\) là các số nguyên và \(x^2 + y^2 = 10\).

Cặp giá trị nguyên duy nhất thỏa mãn điều kiện trên đó là \(x = 3\) và \(y = 1\) hoặc \(x = -3\) và \(y = 1\).

Vì vậy, các nghiệm nguyên của phương trình \(x^2 + y^2 - 2x + y = 9\) là \((3, 1)\) và \((-3, 1)\).

...Xem thêm

Answer 2