Hàm số tồn tại khi mẫu \(x + 1 \neq 0\), tức là \(x \neq -1\).
Vậy, tập xác định \(D_y = \mathbb{R} \setminus \{-1\}\).

2. Tìm các điểm cắt trục hoành (nếu có):
\[ \frac{2x-1}{x+1} = 0 \]
\[ 2x - 1 = 0 \]
\[ x = \frac{1}{2} \]
Vậy, hàm số cắt trục hoành tại \(x = \frac{1}{2}\).

**3. Tìm các điểm cắt trục tung (nếu có):**
\[ y = \frac{2(0)-1}{0+1} = -1 \]
Vậy, hàm số cắt trục tung tại \(y = -1\).

4. Tìm giới hạn của hàm số tại các điểm không xác định:
\[ \lim_{{x \to -1^-}} \frac{2x-1}{x+1} = -\infty \]
\[ \lim_{{x \to -1^+}} \frac{2x-1}{x+1} = \infty \]
Vậy, tại \(x = -1\), hàm số có giới hạn không tồn tại.

5. Tìm đạo hàm và xác định đồ thị tăng/giảm:
\[ y' = \frac{(2x - 1)'(x+1) - (2x-1)(x+1)'}{(x+1)^2} \]
\[ y' = \frac{2(x+1) - (2x-1)}{(x+1)^2} \]
\[ y' = \frac{3}{(x+1)^2} \]

\(y'\) luôn dương trên \(D_y\). Vậy, hàm số luôn tăng trên \(D_y\).

6. Xác định tính chất lồi, hạch và cực trị:
Vì \(y'' = -\frac{6}{(x+1)^3}\) luôn âm trên \(D_y\), hàm số luôn lõm xuống trên \(D_y\).

Vì hàm số luôn tăng và luôn lõm xuống, không có cực trị.

=>- Hàm số cắt trục hoành tại \(x = \frac{1}{2}\) và trục tung tại \(y = -1\).
- Tại \(x = -1\), hàm số có giới hạn không tồn tại.
- Hàm số luôn tăng trên \(D_y\).
- Hàm số luôn lõm xuống trên \(D_y\).
- Hàm số không có cực trị.