a) Để chứng minh rằng BHCK là hình bình hành, chúng ta cần chứng minh rằng các đỉnh của nó tạo thành một hình bình hành.

Đầu tiên, ta đã biết rằng M là trung điểm của BC, vì vậy BM = MC.

Tiếp theo, ta biết rằng BH và CK là hai đường thẳng vuông góc với AB và AC tương ứng. Nếu chúng ta chứng minh BH = CK, chúng ta sẽ có một cặp cạnh đối diện của BHCK bằng nhau, điều này chứng minh rằng BHCK là hình bình hành.

Xét tam giác vuông BMH và tam giác vuông CKH:
- BM = MC (do M là trung điểm của BC)
- BH = CK (vì BH và CK là hai đường thẳng vuông góc tương ứng với AB và AC)

Vì vậy, theo nguyên tắc GĐT, ta có BMH ≡ CKH (các tam giác này có hai cạnh và một góc giống nhau).

Do đó, BHCK là hình bình hành.

b) Để chứng minh rằng H, M và K thẳng hàng, chúng ta cần chứng minh rằng HM = MK. Vì M là trung điểm của BC, ta đã biết rằng HM là đường cao của tam giác vuông BMH và MK là đường cao của tam giác vuông CKH. Chúng ta đã chứng minh rằng BH = CK ở câu (a), do đó, BHMK là hình bình hành. Trong một hình bình hành, đường cao từ hai đỉnh đối diện là bằng nhau. Vì vậy, ta có HM = MK, từ đó chứng minh H, M và K thẳng hàng.

c) Để chứng minh tam giác BIKC là hình thang cân, ta cần chứng minh rằng BI = CK và BIK = KIC.

Ta đã biết BH = CK (từ câu a).

Vào tam giác BMH và CKH, chúng ta cũng có BM = MC (vì M là trung điểm của BC) và MBH = KCH (cùng là góc vuông).

Nhưng BMH ≡ CKH (cùng có hai cạnh và một góc giống nhau), vậy ta có BI = CK.

Do đó, chúng ta đã chứng minh được BIK = KIC (vì BMH ≡ CKH và BMH + BIK = CKH + KIC), và BI = CK.

Vì vậy, tam giác BIKC là hình thang cân.