b> ∆MPQ = ∆NQP:

Chúng ta đã biết rằng MP = NQ và ∠MPQ = ∠NQP từ phần trước. Ngoài ra, MN//PQ và ∠NKQ = ∠NQK. Do đó, theo góc và cạnh tương đồng (AA similarity), ta có ∆MPQ = ∆NQP.

c> Tứ giác MNPQ là hình thang cân:

Chúng ta đã biết MN//PQ và MP = NQ. Bây giờ, để chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình thang cân, chúng ta cần chứng minh thêm rằng các đoạn MN và PQ cắt nhau ở một điểm trung điểm của chúng.

Qua điểm N, chúng ta đã kẻ đoạn thẳng NK // MP và cắt PQ tại K. Vì vậy, ta có điểm trung điểm K nằm trên đoạn PQ. Vì vậy, tứ giác MNPQ là hình thang cân với MN//PQ, MP = NQ và K là điểm trung điểm của PQ.

a)Vì MN//PQ và MP = NQ, chúng ta có hai góc có đỉnh tại N và mỗi góc có một cạnh lần lượt song song với MP và PQ. Điều này đặt ra điều kiện cho hai góc này là góc đồng biên (cùng phía với MP và PQ).

Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét tam giác ∆NKQ. Ta biết rằng hai góc tại N và K của tam giác này đều là góc đồng biên với MP và PQ. Điều này ngụ ý rằng góc tại N và góc tại K của ∆NKQ là bằng nhau, tức là ∠NKQ = ∠NQK.

Hơn nữa, chúng ta cũng biết rằng MP = NQ, vì vậy ∆MPQ là tam giác cân. Do đó, góc tại M của ∆MPQ cũng bằng góc tại Q, tức là ∠PMQ = ∠QMP.

Bây giờ, xem xét tổng góc trong tam giác ∆MPQ: ∠PMQ + ∠MPQ + ∠QMP = 180 độ (tổng góc trong tam giác). Vì ∆MPQ là tam giác cân, ta có ∠PMQ = ∠QMP, do đó ta có thể thay thế chúng:

∠QMP + ∠MPQ + ∠QMP = 180 độ.

2∠QMP + ∠MPQ = 180 độ.

Nhưng chúng ta đã biết rằng ∠MPQ = ∠NQK và ∠QMP = ∠NKQ, vì vậy ta có:

2∠NKQ + ∠NQK = 180 độ.

Bây giờ, hãy chú ý rằng tổng góc trong tam giác ∆NKQ là:

∠NKQ + ∠NQK + ∠KQN = 180 độ.

Nhưng từ phương trình trước đó, ta biết 2∠NKQ + ∠NQK = 180 độ, vì vậy:

∠NKQ + ∠NQK + ∠KQN = 2∠NKQ + ∠NQK.

Và chúng ta cũng đã biết 2∠NKQ + ∠NQK = 180 độ, vì vậy:

∠NKQ + ∠NQK + ∠KQN = 180 độ = 2∠NKQ + ∠NQK.

Chúng ta thấy rằng tổng của các góc trong tam giác ∆NKQ bằng 180 độ và có một góc ∠NKQ bằng một góc ∠NQK. Do đó, tam giác ∆NKQ là tam giác cân

b> ∆MPQ = ∆NQP:

Chúng ta đã biết rằng MP = NQ và ∠MPQ = ∠NQP từ phần trước. Ngoài ra, MN//PQ và ∠NKQ = ∠NQK. Do đó, theo góc và cạnh tương đồng (AA similarity), ta có ∆MPQ = ∆NQP.

c> Tứ giác MNPQ là hình thang cân:

Chúng ta đã biết MN//PQ và MP = NQ. Bây giờ, để chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình thang cân, chúng ta cần chứng minh thêm rằng các đoạn MN và PQ cắt nhau ở một điểm trung điểm của chúng.

Qua điểm N, chúng ta đã kẻ đoạn thẳng NK // MP và cắt PQ tại K. Vì vậy, ta có điểm trung điểm K nằm trên đoạn PQ. Vì vậy, tứ giác MNPQ là hình thang cân với MN//PQ, MP = NQ và K là điểm trung điểm của PQ.