a) Ta có \( \angle EBD = \angle EDC \) (Cùng là góc nội tiếp chắn cung \( \widehat{ED} \))

Mà \( \angle BDI = \angle CDI \) (Do \( BD \) và \( CD \) là hai phân giác của \( \angle B \) và \( \angle C \))

Vậy ta có \( \angle BDO = \angle CDO \)

Mà \( BO = CO \) (Do \( O \) là trung điểm của \( BC \))

Vậy \( \triangle BDO \) đồng dạng với \( \triangle CDO \)

Từ đó suy ra \( \angle BOD = \angle COD \)

Mà \( \angle BOD + \angle COD = 180^{\circ} \) (Tổng các góc trong tam giác \( \triangle BOC \))

Vậy \( \angle BOD = \angle COD = 90^{\circ} \)

Mà \( BD = CD \) (Vì \( \triangle ABC \) cân tại \( A \))

Vậy \( \triangle AED \) cân tại \( A \)

b) Ta có \( \angle FBC = \angle EBA \) (Cùng là góc nội tiếp chắn cung \( \widehat{BE} \))

Mà \( \angle BFC = \angle BFA + \angle AFC = \angle CAB + \angle ABC = \angle CBA + \angle ABC = \angle CBE \) (Do \( BD \) và \( CF \) là hai phân giác của \( \angle B \) và \( \angle C \))

Vậy \( \triangle BCF \) đồng dạng với \( \triangle BEA \)

Từ đó suy ra \( \angle BCF = \angle BEA \)

Mà \( \angle BCF + \angle BEA = 180^{\circ} \) (Tổng các góc trong tứ giác \( \mathrm{BFEC} \))

Vậy \( \angle BCF = \angle BEA = 90^{\circ} \)

Mà \( BC = BE \) (Vì \( \triangle ABC \) cân)

Vậy \( \mathrm{BFEC} \) là hình thang cân

c) Ta có \( \angle EBD = \angle EDC \) (Cùng là góc nội tiếp chắn cung \( \widehat{ED} \))

Và \( \angle EBD = \angle DCE \) (Do \( BD \) và \( CD \) là hai phân giác của \( \angle B \) và \( \angle C \))

Vậy \( \triangle BDE \) đồng dạng với \( \triangle CDE \)

Từ đó suy ra \( \frac{BD}{CD} = \frac{BE}{CE} \)

Mà \( BD = CD \) (Vì \( \triangle ABC \) cân)

Vậy \( BE = CE \) và \( BE = ED = DC \)

d) Ta có \( \angle EBD = \angle EDC \) (Cùng là góc nội tiếp chắn cung \( \widehat{ED} \))

Và \( \angle EBD = \angle DCE \) (Do \( BD \) và \( CD \) là hai phân giác của \( \angle B \) và \( \angle C \))

Vậy \( \angle EDC = \angle DCE \)

Mà \( \angle EDC + \angle DCE = 180^{\circ} \) (Tổng các góc trong tam giác \( \triangle DCE \))

Vậy \( \angle EDC = \angle DCE = 90^{\circ} \)

Mà \( \angle ADB = \angle ADC = 90^{\circ} \) (Do \( AD \) là đường cao của tam giác \( \triangle ADC \))

Vậy \( \angle ADB = \angle ADC = \angle EDC = \angle DCE = 90^{\circ} \)

Vậy \( A, I, J, O \) thẳng hàng.