Ta có hình thang ABCD với AB song song với CD và AB ngắn hơn CD. Vì AB song song với CD, ta có cặp góc ở đỉnh B và C là góc nội tiếp, và cặp góc ở đỉnh A và D cũng là góc nội tiếp. Theo định lý góc nội tiếp, góc tại đỉnh nội tiếp lớn hơn góc tại đỉnh ngoại tiếp. Vì vậy, ta có góc B lớn hơn góc C và góc A lớn hơn góc D.

Do đó, ta có hai tam giác ABC và BCD là hai tam giác có cạnh chung là BC và chung một cặp góc là góc B. Theo bất đẳng thức tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ của tam giác phải lớn hơn cạnh còn lại. Áp dụng vào tam giác ABC và BCD, ta có AB + BC > AC và BC + CD > BD.

Từ hai bất đẳng thức trên, suy ra AB + BC + BC + CD > AC + BD. Điều này tương đương với AB + 2BC + CD > AB + CD, tức là 2BC > 0, và do đó BC > 0.

Từ BC > 0 và bất đẳng thức AB + BC + CD > AC + BD, ta suy ra CD > AB.

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng CD lớn hơn AB và BC bé hơn AB cộng BC.

Ta có hình thang ABCD với AB song song với CD và AB ngắn hơn CD. Vì AB song song với CD, ta có cặp góc ở đỉnh B và C là góc nội tiếp, và cặp góc ở đỉnh A và D cũng là góc nội tiếp. Theo định lý góc nội tiếp, góc tại đỉnh nội tiếp lớn hơn góc tại đỉnh ngoại tiếp. Vì vậy, ta có góc B lớn hơn góc C và góc A lớn hơn góc D.

Do đó, ta có hai tam giác ABC và BCD là hai tam giác có cạnh chung là BC và chung một cặp góc là góc B. Theo bất đẳng thức tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ của tam giác phải lớn hơn cạnh còn lại. Áp dụng vào tam giác ABC và BCD, ta có AB + BC > AC và BC + CD > BD.

Từ hai bất đẳng thức trên, suy ra AB + BC + BC + CD > AC + BD. Điều này tương đương với AB + 2BC + CD > AB + CD, tức là 2BC > 0, và do đó BC > 0.

Từ BC > 0 và bất đẳng thức AB + BC + CD > AC + BD, ta suy ra CD > AB.

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng CD lớn hơn AB và BC bé hơn AB cộng BC.