a/ Để chứng minh BMNP là hình bình hành, ta cần chứng minh hai điều kiện: BM∥NP và BN∥MP.

Vì M là trung điểm của AB, ta có BM=AM. Từ đó, ta thấy BM∥AC do AC là đoạn thẳng nối hai điểm A và C.

Vì MN∥BC (do MN song song với BC), BM∥AC, và BM=AM, ta có:

∠BMN=∠BCA (do cặp góc đồng quy ∠BMN và ∠BCA trên cùng một cạnh song song BM và AC).

Tương tự, ta cũng có:

∠MNB=∠BAC.

Do đó, ta thấy:

∠BMN=∠BCA=∠MNB,

Kết hợp với BM=MN (vì M là trung điểm AB), ta thấy tam giác BMN là tam giác cân tại M, và do đó BN∥MP (vì hai cạnh đáy BN và MP của tam giác BMN là song song và bằng nhau).

Vậy ta đã chứng minh BMNP là hình bình hành.

b/ Để chứng minh AQCP là hình thoi, ta cần chứng minh hai điều kiện: AQ∥CP và AQ=CP.

Do Q là điểm đối xứng của P qua N, ta có PQ=QN và NQ=NP. Vì BMNP là hình bình hành (đã chứng minh ở câu a), ta biết BM=NP và BM∥NP. Từ đó, ta thấy:

MQ=BM+BQ=NP+NQ=PQ.

Vậy MQ=PQ, kết hợp với AQ∥MP (do BMNP là hình bình hành), ta thấy AQCP là hình thoi.

c/ Để AQCP là hình thoi, cần và đủ để AQ∥CP và AQ=CP.

Từ điều kiện AQ∥CP, ta có AP∥CQ.

Do AQ=CP (theo câu b), ta thấy APCQ là tứ giác cân tại A (vì AQCP là hình thoi).

Điều kiện cần để tứ giác APCQ là hình thoi là tứ giác APCQ là hình thoi nội tiếp (tức là APCQ có thể được nội tiếp trong một đường tròn).

Vậy, tứ giác APCQ là hình thoi khi và chỉ khi nó là tứ giác nội tiếp.

a/ Để chứng minh BMNP là hình bình hành, ta cần chứng minh hai điều kiện: BM∥NP và BN∥MP.

Vì M là trung điểm của AB, ta có BM=AM. Từ đó, ta thấy BM∥AC do AC là đoạn thẳng nối hai điểm A và C.

Vì MN∥BC (do MN song song với BC), BM∥AC, và BM=AM, ta có:

∠BMN=∠BCA (do cặp góc đồng quy ∠BMN và ∠BCA trên cùng một cạnh song song BM và AC).

Tương tự, ta cũng có:

∠MNB=∠BAC.

Do đó, ta thấy:

∠BMN=∠BCA=∠MNB,

Kết hợp với BM=MN (vì M là trung điểm AB), ta thấy tam giác BMN là tam giác cân tại M, và do đó BN∥MP (vì hai cạnh đáy BN và MP của tam giác BMN là song song và bằng nhau).

Vậy ta đã chứng minh BMNP là hình bình hành.

b/ Để chứng minh AQCP là hình thoi, ta cần chứng minh hai điều kiện: AQ∥CP và AQ=CP.

Do Q là điểm đối xứng của P qua N, ta có PQ=QN và NQ=NP. Vì BMNP là hình bình hành (đã chứng minh ở câu a), ta biết BM=NP và BM∥NP. Từ đó, ta thấy:

MQ=BM+BQ=NP+NQ=PQ.

Vậy MQ=PQ, kết hợp với AQ∥MP (do BMNP là hình bình hành), ta thấy AQCP là hình thoi.

c/ Để AQCP là hình thoi, cần và đủ để AQ∥CP và AQ=CP.

Từ điều kiện AQ∥CP, ta có AP∥CQ.

Do AQ=CP (theo câu b), ta thấy APCQ là tứ giác cân tại A (vì AQCP là hình thoi).

Điều kiện cần để tứ giác APCQ là hình thoi là tứ giác APCQ là hình thoi nội tiếp (tức là APCQ có thể được nội tiếp trong một đường tròn).

Vậy, tứ giác APCQ là hình thoi khi và chỉ khi nó là tứ giác nội tiếp.