Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Phương pháp:

Áp dụng bất đẳng thức $a b \leq \frac{a^{2} + b^{2}}{2} \forall a, b$ để chứng minh $V T \geq V P .$

Khi đó dấu “=” xảy ra và ta tìm được x, y.

Cách giải

ĐKXĐ: $\{\begin{cases} x - 9 \geq 0 \\ y - 9 \geq 0 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x \geq 9 \\ y \geq 9 \end{cases}$

Ta có:

$3 (x \sqrt{y - 9} + y \sqrt{x - 9}) = 3 x \sqrt{y - 9} + 3 y \sqrt{x - 9} = 3 \sqrt{x} . \sqrt{x} . \sqrt{y - 9} + 3 \sqrt{y} . \sqrt{y} . \sqrt{x - 9} = 3 \sqrt{x} . \sqrt{x y - 9 x} + 3 \sqrt{y} . \sqrt{x y - 9 y} = \sqrt{9 x} . \sqrt{x y - 9 x} + \sqrt{9 y} . \sqrt{x y - 9 y}$

Với mọi $a, b$ ta có: ${(a - b)}^{2} \geq 0 \Rightarrow a^{2} + b^{2} - 2 a b \geq 0 \Rightarrow 2 a b \leq a^{2} + b^{2} \Rightarrow a b \leq \frac{a^{2} + b^{2}}{2}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ${(a - b)}^{2} = 0 \Rightarrow a = b$

$\Rightarrow \{\begin{cases} \sqrt{9 x} . \sqrt{x y - 9 x} \leq \frac{9 x + x y - 9 x}{2} = \frac{x y}{2} \\ \sqrt{9 y} . \sqrt{x y - 9 y} \leq \frac{9 y + x y - 9 y}{2} = \frac{x y}{2} \end{cases} \Rightarrow \sqrt{9 x} . \sqrt{x y - 9 x} + \sqrt{9 y} . \sqrt{x y - 9 y} \leq \frac{x y}{2} + \frac{x y}{2} = x y \Rightarrow V T \leq V P$

Mà theo đề bài $V T = V P$ nên dấu “=” xảy ra

$\Rightarrow \{\begin{cases} \sqrt{9 x} = \sqrt{x y - 9 x} \\ \sqrt{9 y} = \sqrt{x y - 9 y} \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} 9 x = x y - 9 x \\ 9 y = x y - 9 y \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x (y - 18) = 0 \\ y (x - 18) = 0 \end{cases} \Rightarrow x = y = 18 (d o x \geq 9, y \geq 9) \Rightarrow S = {(x - 17)}^{2018} + {(y - 19)}^{2019} = {(18 - 17)}^{2018} + {(18 - 19)}^{2019} = 1 - 1 = 0.$

Vậy $S = 0.$

...Xem thêm

Answer 2